Алгебра Примеры

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x - 2}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x - 2}{x + 2}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 2) (x - 2) + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2) + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 4.2.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 4.3

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{2 - x}$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (- 2) - x}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (- 2) - (x)}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (- 2 + x)}$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$

Этап 6

Чтобы записать $\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$

Этап 7

Чтобы записать $- \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{x^{2} - 4 x + 5}{(x + 2) (x - 2)}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{x + 2}{- 1 (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{x + 2}{- 1 (x - 2)}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{(x + 2) (x - 2) \cdot - 1} - \frac{(x + 2) (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Этап 8.3

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (x - 2) \cdot - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x + 2)}{- 1 (x - 2) (x + 2)}$

Этап 8.4

Изменим порядок множителей в $- 1 (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1}{- (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x^{2} - 4 x + 5) \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot - 1 - 4 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 5 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2} + 4 x + 5 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2} + 4 x - 5 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.3

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - (x + 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 + (- x - 1 \cdot 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 + (- x - 2) (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.6

Развернем $(- x - 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x (x + 2) - 2 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x \cdot x - x \cdot 2 - 2 (x + 2)}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x \cdot x - x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - (x \cdot x) - x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.7.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.7.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - 2 x - 2 x - 2 \cdot 2}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.7.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.7.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 5 - x^{2} - 4 x - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.8

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x - 5 - 4 x - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.9

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 0 - 5 - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.10

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 5 - 4}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 10.11

Вычтем $4$ из $- 5$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 9}{- (x + 2) (x - 2)}$

Этап 11

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{- 2 x^{2} - 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 11.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{- (2 x^{2}) - 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 11.3

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$- \frac{- (2 x^{2}) - 1 (9)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - 1 (9)$ .

$- \frac{- (2 x^{2} + 9)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 11.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем $- (2 x^{2} + 9)$ в виде $- 1 (2 x^{2} + 9)$ .

$- \frac{- 1 (2 x^{2} + 9)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 11.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 11.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 11.5.4

Умножим $\frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 9}{(x + 2) (x - 2)}$