Алгебра Примеры

$(\frac{a - b}{a + b} + \frac{a + b}{a - b}) (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{a - b}{a + b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - b}{a - b}$ .

$(\frac{a - b}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{a + b}{a - b}) (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{a + b}{a - b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + b}{a + b}$ .

$(\frac{a - b}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{a + b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b}) (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a + b) (a - b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{a - b}{a + b}$ на $\frac{a - b}{a - b}$ .

$(\frac{(a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{a + b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b}) (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{a + b}{a - b}$ на $\frac{a + b}{a + b}$ .

$(\frac{(a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{(a + b) (a + b)}{(a - b) (a + b)}) (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(a - b) (a + b)$ .

$(\frac{(a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)}) (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a - b) (a - b) + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (a - b) - b (a - b) + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a (- b) - b (a - b) + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a^{2} - a b - b a - b (- b) + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Перенесем $b$ .

$\frac{a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2.1.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$\frac{a^{2} - a b - b a + b^{2} + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2.2

Вычтем $b a$ из $- a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $b$ .

$\frac{a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $a b$ из $- a b$ .

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.3

Развернем $(a + b) (a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + a (a + b) + b (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + a \cdot a + a b + b (a + b)}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + a \cdot a + a b + b a + b \cdot b}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b a + b \cdot b}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b a + b^{2}}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.4.2

Добавим $a b$ и $b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Изменим порядок $b$ и $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + a^{2} + a b + a b + b^{2}}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.4.2.2

Добавим $a b$ и $a b$ .

$\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2} + a^{2} + 2 a b + b^{2}}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.5

Добавим $a^{2}$ и $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} - 2 a b + b^{2} + 2 a b + b^{2}}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.6

Добавим $- 2 a b$ и $2 a b$ .

$\frac{2 a^{2} + b^{2} + 0 + b^{2}}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.7

Добавим $2 a^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 a^{2} + b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.8

Добавим $b^{2}$ и $b^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 b^{2}}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.9

Вынесем множитель $2$ из $2 a^{2} + 2 b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 a^{2}$ .

$\frac{2 (a^{2}) + 2 b^{2}}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.9.2

Вынесем множитель $2$ из $2 b^{2}$ .

$\frac{2 (a^{2}) + 2 (b^{2})}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.9.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (a^{2}) + 2 (b^{2})$ .

$\frac{2 (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + 1) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 6

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b)} (\frac{a^{2} + b^{2}}{2 a b} + \frac{2 a b}{2 a b}) \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{2 a b} \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Переставляем члены.

$\frac{2 (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{2 a b} \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a b = 2 \cdot a \cdot b$

Этап 7.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}{2 a b} \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = b$ .

$\frac{2 (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{{(a + b)}^{2}}{2 a b} \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим.

$\frac{2 (a^{2} + b^{2}) {(a + b)}^{2}}{(a + b) (a - b) (2 a b)} \cdot \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $a^{2} + b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $a^{2} + b^{2}$ из $2 (a^{2} + b^{2}) {(a + b)}^{2}$ .

$\frac{(a^{2} + b^{2}) (2 {(a + b)}^{2})}{(a + b) (a - b) \cdot 2 a b} \cdot \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a^{2} + b^{2}) (2 {(a + b)}^{2})}{(a + b) (a - b) \cdot 2 a b} \cdot \frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 {(a + b)}^{2}}{(a + b) (a - b) \cdot 2 a b} (a b)$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $a b$ из $(a + b) (a - b) \cdot 2 a b$ .

$\frac{2 {(a + b)}^{2}}{a b ((a + b) (a - b) \cdot 2)} (a b)$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(a + b)}^{2}}{a b ((a + b) (a - b) \cdot 2)} (a b)$

Этап 8.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 {(a + b)}^{2}}{(a + b) (a - b) \cdot 2}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(a + b)}^{2}}{(a + b) (a - b) \cdot 2}$

Этап 8.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(a + b)}^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель ${(a + b)}^{2}$ и $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вынесем множитель $a + b$ из ${(a + b)}^{2}$ .

$\frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)}$

Этап 8.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a + b}{a - b}$