Алгебра Примеры

$(y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2}) - (y^{2} + 8 y + 16)$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Этап 2.2

Перепишем $16 y^{2}$ в виде ${(4 y)}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Этап 2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Этап 2.4

Перепишем многочлен.

${(y^{2})}^{2} + 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Этап 2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = y^{2}$ и $b = 4 y$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Этап 3

Перепишем $y^{2} + 8 y + 16$ в виде ${(y + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 4^{2})$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 y = 2 \cdot y \cdot 4$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2})$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 4$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - {(y + 4)}^{2}$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y^{2} + 4 y$ и $b = y + 4$ .

$(y^{2} + 4 y + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$((y^{2} + 4 y) + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Этап 5.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(y (y + 4) + 1 (y + 4)) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Этап 5.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y + 4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 1 \cdot 4)$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 4)$

Этап 5.5

Вычтем $y$ из $4 y$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 3 y - 4)$

Этап 5.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разложим $y^{2} + 3 y - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 5.6.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y + 4) (y + 1) ((y - 1) (y + 4))$

Этап 5.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(y + 4) (y + 1) (y - 1) (y + 4)$

Этап 5.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Возведем $y + 4$ в степень $1$ .

${(y + 4)}^{1} (y + 4) (y + 1) (y - 1)$

Этап 5.7.2

Возведем $y + 4$ в степень $1$ .

${(y + 4)}^{1} {(y + 4)}^{1} (y + 1) (y - 1)$

Этап 5.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(y + 4)}^{1 + 1} (y + 1) (y - 1)$

Этап 5.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(y + 4)}^{2} (y + 1) (y - 1)$