Алгебра Примеры

$\frac{x + 3}{x + 5} - \frac{1}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{x + 3}{x + 5} - \frac{1}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 5^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{x + 3}{x + 5} - \frac{1}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 5, 5 - x, (x + 5) (x - 5)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $5 - x$ является само значение $5 - x$ .

$(5 - x) = 5 - x$

$(5 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x + 5, 5 - x, x + 5, x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 5) (5 - x) (x - 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x + 3}{x + 5} - \frac{1}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ умножим на $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x + 3}{x + 5} - \frac{1}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ на $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{x + 3}{x + 5} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{x + 3}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$(x + 3) ((5 - x) (x - 5)) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$(x + 3) ((- 1 (- 5) - x) (x - 5)) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$(x + 3) ((- 1 (- 5) - (x)) (x - 5)) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 5) - (x)$ .

$(x + 3) (- 1 (- 5 + x) (x - 5)) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.5

Изменим порядок членов.

$(x + 3) (- 1 (x - 5) (x - 5)) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.6

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$(x + 3) (- 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.7

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$(x + 3) (- 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 3) (- 1 {(x - 5)}^{1 + 1}) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$(x + 3) (- 1 {(x - 5)}^{2}) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.10

Перепишем $- 1 {(x - 5)}^{2}$ в виде $- {(x - 5)}^{2}$ .

$(x + 3) (- {(x - 5)}^{2}) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- {(x - 5)}^{2}) + 3 (- {(x - 5)}^{2}) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 5)}^{2} + 3 (- {(x - 5)}^{2}) - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.13

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - \frac{1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.14

Сократим общий множитель $5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.14.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5 - x}$ в числитель.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} + \frac{- 1}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.14.2

Вынесем множитель $5 - x$ из $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} + \frac{- 1}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.14.3

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} + \frac{- 1}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.14.4

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.15

Развернем $(x + 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - (x (x - 5) + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.16

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.16.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 5$ и $5 x$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.16.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.16.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - (x \cdot x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.17

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.17.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - (x^{2} + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.17.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - (x^{2} - 25) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.18

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} - - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.2.1.19

Умножим $- 1$ на $- 25$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $(x + 5) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $(x + 5) (x - 5)$ из $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = 2 x (5 - x)$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = 2 x \cdot 5 + 2 x (- x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Умножим $5$ на $2$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = 10 x + 2 x (- x)$

Этап 3.3.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = 10 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем $x$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = 10 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = 10 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 = 10 x - 2 x^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x = - 2 x^{2}$

Этап 4.1.2

Добавим $2 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- x {(x - 5)}^{2} - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$- x ((x - 5) (x - 5)) - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.2

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x (x - 5) - 5 (x - 5)) - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$- x (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$- x (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.3.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$- x (x^{2} - 10 x + 25) - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x^{2} - x (- 10 x) - x \cdot 25 - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) - x (- 10 x) - x \cdot 25 - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 10 x) - x \cdot 25 - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2 + 1} - x (- 10 x) - x \cdot 25 - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- x^{3} - x (- 10 x) - x \cdot 25 - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{3} - 1 \cdot - 10 x \cdot x - x \cdot 25 - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.5.3

Умножим $25$ на $- 1$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 10 x \cdot x - 25 x - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1.1

Перенесем $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 10 (x \cdot x) - 25 x - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 10 x^{2} - 25 x - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.6.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 {(x - 5)}^{2} - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.7

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 ((x - 5) (x - 5)) - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.8

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 (x (x - 5) - 5 (x - 5)) - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.9.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.9.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.9.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.9.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 (x^{2} - 10 x + 25) - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 3 \cdot 25 - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.11.1

Умножим $- 10$ на $- 3$ .

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 x^{2} + 30 x - 3 \cdot 25 - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3.11.2

Умножим $- 3$ на $25$ .

$- x^{3} + 10 x^{2} - 25 x - 3 x^{2} + 30 x - 75 - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$- x^{3} + 7 x^{2} - 25 x + 30 x - 75 - x^{2} + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.5

Вычтем $x^{2}$ из $7 x^{2}$ .

$- x^{3} + 6 x^{2} - 25 x + 30 x - 75 + 25 - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Этап 4.1.6

Добавим $6 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 25 x + 30 x - 75 + 25 - 10 x = 0$

Этап 4.1.7

Добавим $- 25 x$ и $30 x$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 75 + 25 - 10 x = 0$

Этап 4.1.8

Вычтем $10 x$ из $5 x$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 5 x - 75 + 25 = 0$

Этап 4.1.9

Добавим $- 75$ и $25$ .

$- x^{3} + 8 x^{2} - 5 x - 50 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $- x^{3} + 8 x^{2} - 5 x - 50$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 50, \pm 2, \pm 25, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1$

Этап 4.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 50, \pm 2, \pm 25, \pm 5, \pm 10$

Этап 4.2.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

$- {(- 2)}^{3} + 8 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 50$

Этап 4.2.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- - 8 + 8 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 50$

Этап 4.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 + 8 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 50$

Этап 4.2.1.3.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$8 + 8 \cdot 4 - 5 \cdot - 2 - 50$

Этап 4.2.1.3.5

Умножим $8$ на $4$ .

$8 + 32 - 5 \cdot - 2 - 50$

Этап 4.2.1.3.6

Добавим $8$ и $32$ .

$40 - 5 \cdot - 2 - 50$

Этап 4.2.1.3.7

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$40 + 10 - 50$

Этап 4.2.1.3.8

Добавим $40$ и $10$ .

$50 - 50$

Этап 4.2.1.3.9

Вычтем $50$ из $50$ .

$0$

Этап 4.2.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 8 x^{2} - 5 x - 50}{x + 2}$

Этап 4.2.1.5

Разделим $- x^{3} + 8 x^{2} - 5 x - 50$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$5 x$

$50$

Этап 4.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$

Этап 4.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 4.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 4.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$20 x$

Этап 4.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{2} + 20 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$

Этап 4.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$25 x$

Этап 4.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$25 x$	-	$50$

Этап 4.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 25 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$25 x$	-	$50$

Этап 4.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$25 x$	-	$50$
							-	$25 x$	-	$50$

Этап 4.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 25 x - 50$ .

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$25 x$	-	$50$
							+	$25 x$	+	$50$

Этап 4.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$5 x$	-	$50$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							-	$25 x$	-	$50$
							+	$25 x$	+	$50$
										$0$

Этап 4.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 10 x - 25$

Этап 4.2.1.6

Запишем $- x^{3} + 8 x^{2} - 5 x - 50$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (- x^{2} + 10 x - 25) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ , а сумма — $b = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$(x + 2) (- x^{2} + 10 (x) - 25) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $10$ как $5$ плюс $5$

$(x + 2) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 5$ .

$(x + 2) ((- x + 5) (x - 5)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$- x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.5

Приравняем $- x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $- x + 5$ к $0$ .

$- x + 5 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $- x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (- x + 5) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - 2, 5$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x + 3}{x + 5} - \frac{1}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$ истинным.

$x = - 2$