Алгебра Примеры

$\frac{4}{3 x + 1} = \frac{x}{2 x + 10}$

Этап 1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{4}{3 x + 1} = \frac{x}{2 (x) + 10}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{4}{3 x + 1} = \frac{x}{2 x + 2 \cdot 5}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{4}{3 x + 1} = \frac{x}{2 (x + 5)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x + 1, 2 (x + 5)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 2.6

Множителем $3 x + 1$ является само значение $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $3 x + 1, x + 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(3 x + 1) (x + 5)$

Этап 2.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 (3 x + 1) (x + 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{4}{3 x + 1} = \frac{x}{2 (x + 5)}$ умножим на $2 (3 x + 1) (x + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{4}{3 x + 1} = \frac{x}{2 (x + 5)}$ на $2 (3 x + 1) (x + 5)$ .

$\frac{4}{3 x + 1} (2 (3 x + 1) (x + 5)) = \frac{x}{2 (x + 5)} (2 (3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{4}{3 x + 1} ((3 x + 1) (x + 5)) = \frac{x}{2 (x + 5)} (2 (3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.2.2

Умножим $2 \frac{4}{3 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{3 x + 1}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 x + 1} ((3 x + 1) (x + 5)) = \frac{x}{2 (x + 5)} (2 (3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.2.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{3 x + 1} ((3 x + 1) (x + 5)) = \frac{x}{2 (x + 5)} (2 (3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{3 x + 1} ((3 x + 1) (x + 5)) = \frac{x}{2 (x + 5)} (2 (3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$8 (x + 5) = \frac{x}{2 (x + 5)} (2 (3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x + 8 \cdot 5 = \frac{x}{2 (x + 5)} (2 (3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.2.5

Умножим $8$ на $5$ .

$8 x + 40 = \frac{x}{2 (x + 5)} (2 (3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x + 40 = 2 \frac{x}{2 (x + 5)} ((3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$8 x + 40 = 2 \frac{x}{2 (x + 5)} ((3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$8 x + 40 = \frac{x}{x + 5} ((3 x + 1) (x + 5))$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $(3 x + 1) (x + 5)$ .

$8 x + 40 = \frac{x}{x + 5} ((x + 5) (3 x + 1))$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$8 x + 40 = \frac{x}{x + 5} ((x + 5) (3 x + 1))$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$8 x + 40 = x (3 x + 1)$

Этап 3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x + 40 = x (3 x) + x \cdot 1$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x + 40 = 3 x \cdot x + x \cdot 1$

Этап 3.3.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$8 x + 40 = 3 x \cdot x + x$

Этап 3.3.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Перенесем $x$ .

$8 x + 40 = 3 (x \cdot x) + x$

Этап 3.3.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x + 40 = 3 x^{2} + x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 x^{2} + x = 8 x + 40$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + x - 8 x = 40$

Этап 4.2.2

Вычтем $8 x$ из $x$ .

$3 x^{2} - 7 x = 40$

Этап 4.3

Вычтем $40$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 7 x - 40 = 0$

Этап 4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 40 = - 120$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$3 x^{2} - 7 x - 40 = 0$

Этап 4.4.1.2

Запишем $- 7$ как $8$ плюс $- 15$

$3 x^{2} + (8 - 15) x - 40 = 0$

Этап 4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 8 x - 15 x - 40 = 0$

Этап 4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 8 x) - 15 x - 40 = 0$

Этап 4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 8) - 5 (3 x + 8) = 0$

Этап 4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 8$ .

$(3 x + 8) (x - 5) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 8 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $3 x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $3 x + 8$ к $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $3 x + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 8$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Этап 4.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{3}$

Этап 4.7

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 8) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{8}{3}, 5$