Алгебра Примеры

$\frac{4 - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{4 - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $2 - x$ и $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2) - x)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2) - (x))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2 + x))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{(2 + x) (- 1 (x - 2))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 + x) (- 1 (x - 2))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.1.6

Разделим $(2 + x) \cdot (- 1)$ на $1$ .

$(2 + x) \cdot (- 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot - 1 + x \cdot - 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 + x \cdot - 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$(- 2 - 1 \cdot x) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$(- 2 - x) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 2 - x$ на $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2}$ .

$\frac{(- 2 - x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель $- 2 - x$ и $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{(- 1 (2) - x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- 1 (2) - (x)) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.4.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (x)$ .

$\frac{- 1 (2 + x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.4.2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (x + 2) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.4.2.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (x + 2) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.4.2.6

Разделим $- 1 ((x + 5) (x - 5))$ на $1$ .

$- 1 ((x + 5) (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 4.4.3

Перепишем $- 1 ((x + 5) (x - 5))$ в виде $- ((x + 5) (x - 5))$ .

$- ((x + 5) (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 5

Развернем $(x + 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (x - 5) + 5 (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 5$ и $5 x$ .

$- (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 6.1.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$- (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 6.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- (x \cdot x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- (x^{2} + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 6.2.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$- (x^{2} - 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 6.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x^{2} - - 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 6.3.2

Умножим $- 1$ на $- 25$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Этап 7

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Этап 7.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 7.3

Перепишем многочлен.

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Этап 7.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $x + 5$ и ${(x + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим на $1$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Вынесем множитель $x + 5$ из ${(x + 5)}^{2}$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{(x + 5) (x + 5)}$

Этап 8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{(x + 5) (x + 5)}$

Этап 8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$(- x^{2} + 25) \frac{1}{x + 5}$

Этап 8.2

Умножим $- x^{2} + 25$ на $\frac{1}{x + 5}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{x + 5}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{x + 5}$

Этап 9.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{x + 5}$

Этап 9.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Этап 10

Сократим общий множитель $5 + x$ и $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{x + 5}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{x + 5}$

Этап 10.3

Разделим $5 - x$ на $1$ .

$5 - x$