Алгебра Примеры

$\sqrt[3]{3 - 8 x^{2}} = 2 x$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{3 - 8 x^{2}}}^{3} = {(2 x)}^{3}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3 - 8 x^{2}}$ в виде ${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 x)}^{3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 - 8 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 - 8 x^{2})}^{1} = {(2 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$3 - 8 x^{2} = {(2 x)}^{3}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$3 - 8 x^{2} = 2^{3} x^{3}$

Этап 2.3.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 - 8 x^{2} = 8 x^{3}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $8 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$3 - 8 x^{2} - 8 x^{3} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $3 - 8 x^{2} - 8 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем $3$ .

$- 8 x^{2} - 8 x^{3} + 3 = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Изменим порядок $- 8 x^{2}$ и $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x^{3} - 8 x^{2} + 3 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x^{3}$ .

$- (8 x^{3}) - 8 x^{2} + 3 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x^{2}$ .

$- (8 x^{3}) - (8 x^{2}) + 3 = 0$

Этап 3.2.1.4

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (8 x^{3}) - (8 x^{2}) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x^{3}) - (8 x^{2})$ .

$- (8 x^{3} + 8 x^{2}) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x^{3} + 8 x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$- (8 x^{3} + 8 x^{2} - 3) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим $8 x^{3} + 8 x^{2} - 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 3.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 3, \pm 0.375, \pm 1.5, \pm 0.75$

Этап 3.2.2.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$8 \cdot {0.5}^{3} + 8 \cdot {0.5}^{2} - 3$

Этап 3.2.2.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$8 \cdot 0.125 + 8 \cdot {0.5}^{2} - 3$

Этап 3.2.2.1.3.3

Умножим $8$ на $0.125$ .

$1 + 8 \cdot {0.5}^{2} - 3$

Этап 3.2.2.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$1 + 8 \cdot 0.25 - 3$

Этап 3.2.2.1.3.5

Умножим $8$ на $0.25$ .

$1 + 2 - 3$

Этап 3.2.2.1.3.6

Добавим $1$ и $2$ .

$3 - 3$

Этап 3.2.2.1.3.7

Вычтем $3$ из $3$ .

$0$

Этап 3.2.2.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{8 x^{3} + 8 x^{2} - 3}{2 x - 1}$

Этап 3.2.2.1.5

Разделим $8 x^{3} + 8 x^{2} - 3$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$8 x^{2}$

$0 x$

$3$

Этап 3.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$4 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

Этап 3.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 3.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 3.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Этап 3.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 3.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 3.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 3.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{2} - 6 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 3.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$

Этап 3.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	+	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Этап 3.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$6 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Этап 3.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$6 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							+	$6 x$	-	$3$

Этап 3.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x - 3$ .

				$4 x^{2}$	+	$6 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$

Этап 3.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$6 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$
										$0$

Этап 3.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} + 6 x + 3$

Этап 3.2.2.1.6

Запишем $8 x^{3} + 8 x^{2} - 3$ в виде набора множителей.

$- ((2 x - 1) (4 x^{2} + 6 x + 3)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (2 x - 1) (4 x^{2} + 6 x + 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$4 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.5

Приравняем $4 x^{2} + 6 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $4 x^{2} + 6 x + 3$ к $0$ .

$4 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $4 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = 6$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 48}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Вычтем $48$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 3.5.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 3.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 3.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (2 x - 1) (4 x^{2} + 6 x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{4}$