Алгебра Примеры

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cot^{2} (x)) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 0$

$1 + \cot^{2} (x) = 0$

Этап 2

Приравняем $1 - \cos^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $1 - \cos^{2} (x)$ к $0$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Решим $1 - \cos^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \cos^{2} (x) = - 1$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $- \cos^{2} (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos^{2} (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (x) = 1$

Этап 2.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (x) = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (x) = \pm 1$

Этап 2.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = 1$

Этап 2.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - 1$

Этап 2.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = 1, - 1$

Этап 2.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

Этап 2.2.7

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 2.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.7.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 2.2.7.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 2.2.7.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.2.7.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.2.8

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 2.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 2.2.8.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 2.2.8.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 2.2.8.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.2.8.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.2.9

Перечислим все решения.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.2.10

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $1 + \cot^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $1 + \cot^{2} (x)$ к $0$ .

$1 + \cot^{2} (x) = 0$

Этап 3.2

Решим $1 + \cot^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cot^{2} (x) = - 1$

Этап 3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cot (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\cot (x) = \pm i$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cot (x) = i$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cot (x) = - i$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cot (x) = i, - i$

Этап 3.2.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cot (x) = i$

$\cot (x) = - i$

Этап 3.2.6

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (i)$

Этап 3.2.6.2

The inverse cotangent of $arccot (i)$ is undefined.

Неопределенные

Этап 3.2.7

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- i)$

Этап 3.2.7.2

The inverse cotangent of $arccot (- i)$ is undefined.

Неопределенные

Этап 3.2.8

Перечислим все решения.

Нет решения

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cot^{2} (x)) = 0$ верно.

$x = π n$ , для любого целого $n$