Алгебра Примеры

$\sqrt[5]{x^{4}} - 3 \sqrt[5]{x^{2}} = 4$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{4}}$ в виде $x^{\frac{4}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} - 3 \sqrt[5]{x^{2}} = 4$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} - 3 x^{\frac{2}{5}} = 4$

Этап 2

Найдем общий множитель $x^{\frac{2}{5}}$ , который присутствует в каждом члене.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{2} - 3 x^{\frac{2}{5}} - 4$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{2}{5}}$ .

${(u)}^{2} - 3 u - 4 = 0$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

$u^{2} - 3 u - 4 = 0$

Этап 4.2

Разложим $u^{2} - 3 u - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 4.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u + 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 4.5

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 4) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 4, - 1$

Этап 5

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 4, - 1$

Этап 6

Решим относительно $x^{\frac{2}{5}} = 4$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.2

Упростим.

$x = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $\pm 4^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm 2^{5}$

Этап 6.2.2.1.3

Возведем $2$ в степень $5$ .

$x = \pm 32$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 32$

Этап 6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 32$

Этап 6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 32, - 32$

Этап 7

Решим относительно $x^{\frac{2}{5}} = - 1$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Этап 7.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Этап 7.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Этап 7.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Этап 7.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Этап 7.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Этап 7.2.1.1.2

Упростим.

$x = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $\pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Перепишем ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ в виде $\sqrt{{(- 1)}^{5}}$ .

$x = \pm \sqrt{{(- 1)}^{5}}$

Этап 7.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 7.2.2.1.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = 32, - 32, i, - i$