Алгебра Примеры

$x^{2} \cdot 4 x + 4 = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $4$ из $x^{2} \cdot 4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $x^{2} \cdot 4 x$ .

$4 (x^{2} x) + 4 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (x^{2} x) + 4 (1) = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} x) + 4 (1)$ .

$4 (x^{2} x + 1) = 0$

Этап 2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (x^{2} x + 1) = 0$

Этап 2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x^{2 + 1} + 1) = 0$

Этап 2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$4 (x^{3} + 1) = 0$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$4 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$4 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Этап 5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Этап 5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Этап 5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 8

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x^{2} - x + 1$ к $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $x^{2} - x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$