Алгебра Примеры

$x^{2} + {(y - 3 \sqrt{2} x)}^{2} = 1$

Этап 1

Перепишем ${(y - 3 \sqrt{2} x)}^{2}$ в виде $(y - 3 \sqrt{2} x) (y - 3 \sqrt{2} x)$ .

$x^{2} + (y - 3 \sqrt{2} x) (y - 3 \sqrt{2} x) = 1$

Этап 2

Развернем $(y - 3 \sqrt{2} x) (y - 3 \sqrt{2} x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + y (y - 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x (y - 3 \sqrt{2} x) = 1$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + y \cdot y + y (- 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x (y - 3 \sqrt{2} x) = 1$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + y \cdot y + y (- 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} x (- 3 \sqrt{2} x) = 1$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $y$ на $y$ .

$x^{2} + y^{2} + y (- 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} x (- 3 \sqrt{2} x) = 1$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} x (- 3 \sqrt{2} x) = 1$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2} x \cdot x) = 1$

Этап 3.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2} (x \cdot x)) = 1$

Этап 3.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2} x^{2}) = 1$

Этап 3.5

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \sqrt{2} \sqrt{2} x^{2} = 1$

Этап 3.6

Умножим $9 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 (\sqrt{2} \sqrt{2}) x^{2} = 1$

Этап 3.6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 (\sqrt{2} \sqrt{2}) x^{2} = 1$

Этап 3.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1} x^{2} = 1$

Этап 3.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 {\sqrt{2}}^{2} x^{2} = 1$

Этап 3.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = 1$

Этап 3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) = 1$

Этап 3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) = 1$

Этап 3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) = 1$

Этап 3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2 x^{2}) = 1$

Этап 3.7.5

Найдем экспоненту.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2 x^{2}) = 1$

Этап 3.8

Умножим $9$ на $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 18 x^{2} = 1$

Этап 4

Изменим порядок множителей в членах $- 3 \sqrt{2} y x$ и $- 3 \sqrt{2} x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 x y \sqrt{2} - 3 x y \sqrt{2} + 18 x^{2} = 1$

Этап 5

Вычтем $3 x y \sqrt{2}$ из $- 3 x y \sqrt{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x y \sqrt{2} + 18 x^{2} = 1$

Этап 6

Добавим $x^{2}$ и $18 x^{2}$ .

$19 x^{2} + y^{2} - 6 x y \sqrt{2} = 1$

Этап 7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$19 x^{2} + y^{2} - 6 x y \sqrt{2} - 1 = 0$

Этап 8

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 9

Подставим значения $a = 19$ , $b = - 6 y \sqrt{2}$ и $c = y^{2} - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6 y \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (19 \cdot (y^{2} - 1))}}{2 \cdot 19}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6 (y \sqrt{2}))}^{2} - 4 \cdot (19 \cdot (y^{2} - 1))}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2

Пусть $u = 19 \cdot (y^{2} - 1)$ . Подставим $u$ вместо $19 \cdot (y^{2} - 1)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1.1

Применим правило умножения к $- 6 y \sqrt{2}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6 y)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2.1.2

Применим правило умножения к $- 6 y$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} y^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2.3.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.2.4

Умножим $2$ на $36$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{72 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.3

Вынесем множитель $4$ из $72 y^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $72 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (18 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - u)}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $19 \cdot (y^{2} - 1)$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 \cdot (y^{2} - 1)))}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 y^{2} + 19 \cdot - 1))}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.5.1.2

Умножим $19$ на $- 1$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 y^{2} - 19))}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 y^{2}) + 19)}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.5.1.4

Умножим $19$ на $- 1$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - 19 y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 19$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - 19 y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.5.2

Вычтем $19 y^{2}$ из $18 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{2^{2} (- y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{- y^{2} + 19}}{2 \cdot 19}$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $19$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{- y^{2} + 19}}{38}$

Этап 10.3

Упростим $\frac{6 y \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{- y^{2} + 19}}{38}$ .

$x = \frac{3 y \sqrt{2} \pm \sqrt{- y^{2} + 19}}{19}$

Этап 11

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 y \sqrt{2} + \sqrt{- y^{2} + 19}}{19}$

$x = \frac{3 y \sqrt{2} - \sqrt{- y^{2} + 19}}{19}$