Алгебра Примеры

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = x + \sqrt{x}$ в виде уравнения.

$y = x + \sqrt{x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y + \sqrt{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y + \sqrt{y} = x$ .

$y + \sqrt{y} = x$

Этап 3.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{y} = x - y$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x - y)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$y = (x - y) (x - y)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Этап 3.4.3.1.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.4.1

Перенесем $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Этап 3.4.3.1.3.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Этап 3.4.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Этап 3.4.3.1.3.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Этап 3.4.3.1.3.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.2.1

Перенесем $y$ .

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Этап 3.4.3.1.3.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

Этап 3.5.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

Этап 3.5.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ и $c = x^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.4

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ в виде ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = - 2 x - 1$ и $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1.6.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.6.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.6.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.6.4

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.6.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.1.6.6

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Этап 3.5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.4

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ в виде ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.5

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.6.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.4

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.1.6.6

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Этап 3.5.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Этап 3.5.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.4

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ в виде ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.5

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.6.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.4

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.1.6.6

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Этап 3.5.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Этап 3.5.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ обратной к $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x + \sqrt{x}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Разделим $- 4 x - 1$ на $1$ .

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$- 4 x - 1 \leq 0$

Этап 5.3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$- 4 x \leq 1$

Этап 5.3.2.3

Разделим каждый член $- 4 x \leq 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим каждый член $- 4 x \leq 1$ на $- 4$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Этап 5.3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 4}$

Этап 5.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = x + \sqrt{x}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ не является функцией, обратной к $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Обратная не существует

Этап 6