Алгебра Примеры

$3^{x} \cdot 5^{x + 1} = 6^{x + 2}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (3^{x} \cdot 5^{x + 1}) = \ln (6^{x + 2})$

Этап 2

Перепишем $\ln (3^{x} \cdot 5^{x + 1})$ в виде $\ln (3^{x}) + \ln (5^{x + 1})$ .

$\ln (3^{x}) + \ln (5^{x + 1}) = \ln (6^{x + 2})$

Этап 3

Развернем $\ln (3^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (3) + \ln (5^{x + 1}) = \ln (6^{x + 2})$

Этап 4

Развернем $\ln (5^{x + 1})$ , вынося $x + 1$ из логарифма.

$x \ln (3) + (x + 1) \ln (5) = \ln (6^{x + 2})$

Этап 5

Развернем $\ln (6^{x + 2})$ , вынося $x + 2$ из логарифма.

$x \ln (3) + (x + 1) \ln (5) = (x + 2) \ln (6)$

Этап 6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (3) + x \ln (5) + 1 \ln (5) = (x + 2) \ln (6)$

Этап 6.1.2

Умножим $\ln (5)$ на $1$ .

$x \ln (3) + x \ln (5) + \ln (5) = (x + 2) \ln (6)$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (3) + x \ln (5) + \ln (5) = x \ln (6) + 2 \ln (6)$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $2 \ln (6)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (3) + x \ln (5) + \ln (5) = x \ln (6) + \ln (6^{2})$

Этап 6.3.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x \ln (3) + x \ln (5) + \ln (5) = x \ln (6) + \ln (36)$

Этап 6.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (3) + x \ln (5) + \ln (5) - x \ln (6) - \ln (36) = 0$

Этап 6.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (3) + x \ln (5) - x \ln (6) + \ln (\frac{5}{36}) = 0$

Этап 6.6

Вычтем $\ln (\frac{5}{36})$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (3) + x \ln (5) - x \ln (6) = - \ln (\frac{5}{36})$

Этап 6.7

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (3) + x \ln (5) - x \ln (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) + x \ln (5) - x \ln (6) = - \ln (\frac{5}{36})$

Этап 6.7.2

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5)$ .

$x (\ln (3)) + x (\ln (5)) - x \ln (6) = - \ln (\frac{5}{36})$

Этап 6.7.3

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (6)$ .

$x (\ln (3)) + x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (6)) = - \ln (\frac{5}{36})$

Этап 6.7.4

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (3)) + x (\ln (5))$ .

$x (\ln (3) + \ln (5)) + x (- 1 \ln (6)) = - \ln (\frac{5}{36})$

Этап 6.7.5

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (3) + \ln (5)) + x (- 1 \ln (6))$ .

$x (\ln (3) + \ln (5) - 1 \ln (6)) = - \ln (\frac{5}{36})$

Этап 6.8

Перепишем $- 1 \ln (6)$ в виде $- \ln (6)$ .

$x (\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)) = - \ln (\frac{5}{36})$

Этап 6.9

Разделим каждый член $x (\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)) = - \ln (\frac{5}{36})$ на $\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Разделим каждый член $x (\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)) = - \ln (\frac{5}{36})$ на $\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)$ .

$\frac{x (\ln (3) + \ln (5) - \ln (6))}{\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)} = \frac{- \ln (\frac{5}{36})}{\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)}$

Этап 6.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (3) + \ln (5) - \ln (6))}{\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)} = \frac{- \ln (\frac{5}{36})}{\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)}$

Этап 6.9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{36})}{\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)}$

Этап 6.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{36})}{\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{36})}{\ln (3) + \ln (5) - \ln (6)}$

Десятичная форма:

$x = 2.15442649 \dots$