Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{2} {(x + 1)}^{4} - 3$

Этап 1

Простейшая форма функция является самой простой формой функции данного типа.

$y = x^{4}$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{4} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 3$

Этап 2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 3$

Этап 2.1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 3$

Этап 2.1.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 3$

Этап 2.1.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 3$

Этап 2.1.2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 3$

Этап 2.1.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 3$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{1}{2} (6 x^{2}) + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{1}{2} (6 x^{2}) + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x^{3})) + \frac{1}{2} (6 x^{2}) + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x^{3})) + \frac{1}{2} (6 x^{2}) + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + \frac{1}{2} (6 x^{2}) + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + \frac{1}{2} (2 (3 x^{2})) + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + \frac{1}{2} (2 (3 x^{2})) + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} \cdot 1 - 3$

Этап 2.1.4.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} - 3$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 - 3 \cdot 2}{2}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 - 6}{2}$

Этап 2.5.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + \frac{- 5}{2}$

Этап 2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - \frac{5}{2}$

Этап 3

Предположим, что $y = x^{4}$ есть $f (x) = x^{4}$ , а $y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{4} - 3$ есть $g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - \frac{5}{2}$ .

$f (x) = x^{4}$

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - \frac{5}{2}$

Этап 4

Описываемое преобразование из $f (x) = x^{4}$ в $g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - \frac{5}{2}$ .

$f (x) = x^{4} \to g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - \frac{5}{2}$

Этап 5

Горизонтальный сдвиг зависит от значения $h$ . Горизонтальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x + h)$ — график сдвинут влево на $h$ ед.

$g (x) = f (x - h)$ — график сдвинут вправо на $h$ ед.

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $1$

Этап 6

Смещение по вертикали зависит от значения $k$ . Вертикальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x) + k$ — график сдвинут вверх на $k$ ед.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Смещение по вертикали: сдвинут вниз на $3$ ед.

Этап 7

График отражен относительно оси x, если $g (x) = - f (x)$ .

Отражение относительно оси X: нет

Этап 8

График отражен относительно оси y, если $g (x) = f (- x)$ .

Отражение относительно оси Y: нет

Этап 9

Сжатие и растяжение зависят от значения $a$ .

Если $a$ больше $1$ : растянут по вертикали

Если $a$ между $0$ и $1$ : сжат по вертикали

Сжатие или растяжение по вертикали: сжат

Этап 10

Сравним и перечислим преобразования.

Порождающая функция: $y = x^{4}$

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $1$

Смещение по вертикали: сдвинут вниз на $3$ ед.

Отражение относительно оси X: нет

Отражение относительно оси Y: нет

Сжатие или растяжение по вертикали: сжат

Этап 11