Алгебра Примеры

$7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{x}} = \sqrt[10]{7^{7}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[10]{7^{7}}$ в виде $7^{\frac{7}{10}}$ .

$7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{x}} = 7^{\frac{7}{10}}$

Этап 2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{x}} = 7^{\frac{7}{10}}$

Этап 3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = \frac{7}{10}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x} = \frac{7}{10} - \frac{1}{2}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{7}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{7}{10} - \frac{5}{2 \cdot 5}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{x} = \frac{7}{10} - \frac{5}{10}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x} = \frac{7 - 5}{10}$

Этап 4.1.5

Вычтем $5$ из $7$ .

$\frac{1}{x} = \frac{2}{10}$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $2$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{x} = \frac{2 (1)}{10}$

Этап 4.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{1}{x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Этап 4.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Этап 4.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{5}$

Этап 4.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 5$

Этап 4.2.2

Так как $x, 5$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 5$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}$ .

Этап 4.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 4.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 4.2.5

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 4.2.6

НОК $1, 5$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 4.2.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 4.2.8

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 4.2.9

НОК $x, 5$ представляет собой произведение числовой части $5$ и переменной части.

$5 x$

Этап 4.3

Каждый член в $\frac{1}{x} = \frac{1}{5}$ умножим на $5 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} = \frac{1}{5}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{x} (5 x) = \frac{1}{5} (5 x)$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{1}{x} x = \frac{1}{5} (5 x)$

Этап 4.3.2.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{5}{x} x = \frac{1}{5} (5 x)$

Этап 4.3.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{x} x = \frac{1}{5} (5 x)$

Этап 4.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$5 = \frac{1}{5} (5 x)$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$5 = \frac{1}{5} (5 (x))$

Этап 4.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$5 = \frac{1}{5} (5 x)$

Этап 4.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$5 = x$

Этап 4.4

Перепишем уравнение в виде $x = 5$ .

$x = 5$