Алгебра Примеры

${(2 p^{3} - 3 t)}^{4}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(2 p^{3} - 3 t)}^{4}$ $n = 4$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $5$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $2 p^{3}$ и $b$ $- 3 t$ в выражение.

$1 {(2 p^{3})}^{4} {(- 3 t)}^{0} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 p^{3})}^{4}$ на $1$ .

${(2 p^{3})}^{4} {(- 3 t)}^{0} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 p^{3}$ .

$2^{4} {(p^{3})}^{4} {(- 3 t)}^{0} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 {(p^{3})}^{4} {(- 3 t)}^{0} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.4

Перемножим экспоненты в ${(p^{3})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 p^{3 \cdot 4} {(- 3 t)}^{0} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$16 p^{12} {(- 3 t)}^{0} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $- 3 t$ .

$16 p^{12} ({(- 3)}^{0} t^{0}) + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 \cdot {(- 3)}^{0} p^{12} t^{0} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 \cdot 1 p^{12} t^{0} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.8

Умножим $16$ на $1$ .

$16 p^{12} t^{0} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 p^{12} \cdot 1 + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.10

Умножим $16$ на $1$ .

$16 p^{12} + 4 {(2 p^{3})}^{3} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $2 p^{3}$ .

$16 p^{12} + 4 (2^{3} {(p^{3})}^{3}) {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.12

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 p^{12} + 4 (8 {(p^{3})}^{3}) {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.13

Перемножим экспоненты в ${(p^{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 p^{12} + 4 (8 p^{3 \cdot 3}) {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.13.2

Умножим $3$ на $3$ .

$16 p^{12} + 4 (8 p^{9}) {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.14

Умножим $8$ на $4$ .

$16 p^{12} + 32 p^{9} {(- 3 t)}^{1} + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.15

Упростим.

$16 p^{12} + 32 p^{9} (- 3 t) + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 p^{12} + 32 \cdot - 3 p^{9} t + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.17

Умножим $32$ на $- 3$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 6 {(2 p^{3})}^{2} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.18

Применим правило умножения к $2 p^{3}$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 6 (2^{2} {(p^{3})}^{2}) {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.19

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 6 (4 {(p^{3})}^{2}) {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.20

Перемножим экспоненты в ${(p^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 6 (4 p^{3 \cdot 2}) {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.20.2

Умножим $3$ на $2$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 6 (4 p^{6}) {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.21

Умножим $4$ на $6$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 24 p^{6} {(- 3 t)}^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.22

Применим правило умножения к $- 3 t$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 24 p^{6} ({(- 3)}^{2} t^{2}) + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.23

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 24 \cdot {(- 3)}^{2} p^{6} t^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.24

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 24 \cdot 9 p^{6} t^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.25

Умножим $24$ на $9$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} + 4 {(2 p^{3})}^{1} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.26

Упростим.

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} + 4 (2 p^{3}) {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.27

Умножим $2$ на $4$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} + 8 p^{3} {(- 3 t)}^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.28

Применим правило умножения к $- 3 t$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} + 8 p^{3} ({(- 3)}^{3} t^{3}) + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.29

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} + 8 \cdot {(- 3)}^{3} p^{3} t^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.30

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} + 8 \cdot - 27 p^{3} t^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.31

Умножим $8$ на $- 27$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + 1 {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.32

Умножим ${(2 p^{3})}^{0}$ на $1$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + {(2 p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.33

Применим правило умножения к $2 p^{3}$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + 2^{0} {(p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.34

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + 1 {(p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.35

Умножим ${(p^{3})}^{0}$ на $1$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + {(p^{3})}^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.36

Перемножим экспоненты в ${(p^{3})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.36.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + p^{3 \cdot 0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.36.2

Умножим $3$ на $0$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + p^{0} {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.37

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + 1 {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.38

Умножим ${(- 3 t)}^{4}$ на $1$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + {(- 3 t)}^{4}$

Этап 4.39

Применим правило умножения к $- 3 t$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + {(- 3)}^{4} t^{4}$

Этап 4.40

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$16 p^{12} - 96 p^{9} t + 216 p^{6} t^{2} - 216 p^{3} t^{3} + 81 t^{4}$