Алгебра Примеры

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > x$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} - x > 0$

Этап 2

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |}$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} - x \cdot \frac{2 x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $- x$ и $\frac{2 x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |}$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} + \frac{- x (2 x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - | 5 x + 2 | - x (2 x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - | 5 x + 2 | - x (2 x) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 1 \cdot (2 x^{2}) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 2 x^{2} - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 x^{2} - x | 5 x + 2 | + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - x | 5 x + 2 | + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x | 5 x + 2 |$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (x | 5 x + 2 |) + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - (x | 5 x + 2 |)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 |) + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 |) - 1 (- x) - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 |) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x) - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- | 5 x + 2 |$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x) - (| 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x) - (| 5 x + 2 |)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 5.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем $- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)$ в виде $- 1 (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 5.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Этап 6

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 | = 0$

$2 x + | 5 x + 2 | = 0$

Этап 7

Перенесем все члены без $| 5 x + 2 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2}$

Этап 7.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x | 5 x + 2 | + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2} + x$

Этап 8

Вынесем множитель $| 5 x + 2 |$ из $x | 5 x + 2 | + | 5 x + 2 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $| 5 x + 2 |$ из $x | 5 x + 2 |$ .

$| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2} + x$

Этап 8.2

Возведем $| 5 x + 2 |$ в степень $1$ .

$| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2} + x$

Этап 8.3

Вынесем множитель $| 5 x + 2 |$ из ${| 5 x + 2 |}^{1}$ .

$| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | \cdot 1 = - 2 x^{2} + x$

Этап 8.4

Вынесем множитель $| 5 x + 2 |$ из $| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | \cdot 1$ .

$| 5 x + 2 | (x + 1) = - 2 x^{2} + x$

Этап 9

Разделим каждый член $| 5 x + 2 | (x + 1) = - 2 x^{2} + x$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $| 5 x + 2 | (x + 1) = - 2 x^{2} + x$ на $x + 1$ .

$\frac{| 5 x + 2 | (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 5 x + 2 | (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $| 5 x + 2 |$ на $1$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{- 2 x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$| 5 x + 2 | = \frac{- 2 x^{2} + x}{x + 1}$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x) + x}{x + 1}$

Этап 9.3.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x) + x^{1}}{x + 1}$

Этап 9.3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x) + x \cdot 1}{x + 1}$

Этап 9.3.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- 2 x) + x \cdot 1$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x + 1)}{x + 1}$

Этап 9.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- (2 x) + 1)}{x + 1}$

Этап 9.3.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- (2 x) - 1 (- 1))}{x + 1}$

Этап 9.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- (2 x - 1))}{x + 1}$

Этап 9.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

Перепишем $- (2 x - 1)$ в виде $- 1 (2 x - 1)$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 1 (2 x - 1))}{x + 1}$

Этап 9.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$| 5 x + 2 | = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$

Этап 10

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$5 x + 2 = \pm (- \frac{x (2 x - 1)}{x + 1})$

Этап 11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$5 x + 2 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$

Этап 11.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$

Этап 11.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x + 1, 1$

Этап 11.3.2

Избавимся от скобок.

$1, x + 1, 1$

Этап 11.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + 1$

Этап 11.4

Каждый член в $5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ умножим на $x + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим каждый член $5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ на $x + 1$ .

$5 x (x + 1) = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1

Перенесем $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 1 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$ в числитель.

$5 x^{2} + 5 x = \frac{- x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 5 x = \frac{- x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$5 x^{2} + 5 x = - x (2 x - 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x = - x (2 x) - x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.4

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x \cdot x + x - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1.5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1.5.1.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x^{2} + x - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} + x - 2 (x + 1)$

Этап 11.4.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} + x - 2 x - 2 \cdot 1$

Этап 11.4.3.1.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} + x - 2 x - 2$

Этап 11.4.3.2

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} - x - 2$

Этап 11.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1.1

Добавим $2 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} + 5 x + 2 x^{2} = - x - 2$

Этап 11.5.1.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} + 5 x + 2 x^{2} + x = - 2$

Этап 11.5.1.3

Добавим $5 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$7 x^{2} + 5 x + x = - 2$

Этап 11.5.1.4

Добавим $5 x$ и $x$ .

$7 x^{2} + 6 x = - 2$

Этап 11.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$7 x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Этап 11.5.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11.5.4

Подставим значения $a = 7$ , $b = 6$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 2)}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 7 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 28 \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.2.2

Умножим $- 28$ на $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 56}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.3

Вычтем $56$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.4

Перепишем $- 20$ в виде $- 1 (20)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (20)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.7

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 7}$

Этап 11.5.5.2

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$

Этап 11.5.5.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{5}}{7}$

Этап 11.5.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{5}}{7}, - \frac{3 + i \sqrt{5}}{7}$

Этап 11.6

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$5 x + 2 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$

Этап 11.7

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$

Этап 11.8

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x + 1, 1$

Этап 11.8.2

Избавимся от скобок.

$1, x + 1, 1$

Этап 11.8.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + 1$

Этап 11.9

Каждый член в $5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ умножим на $x + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Умножим каждый член $5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ на $x + 1$ .

$5 x (x + 1) = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.2.2.1

Перенесем $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 1 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.3.1.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 x^{2} + 5 x = x (2 x - 1) - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x = x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} + 5 x = 2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.3.1.4

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x \cdot x - 1 \cdot x - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.3.1.5.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.3.1.5.1.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 (x \cdot x) - 1 \cdot x - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.3.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.3.1.5.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - x - 2 (x + 1)$

Этап 11.9.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot 1$

Этап 11.9.3.1.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - x - 2 x - 2$

Этап 11.9.3.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Этап 11.10

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} = - 3 x - 2$

Этап 11.10.1.2

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$5 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} + 3 x = - 2$

Этап 11.10.1.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 5 x + 3 x = - 2$

Этап 11.10.1.4

Добавим $5 x$ и $3 x$ .

$3 x^{2} + 8 x = - 2$

Этап 11.10.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} + 8 x + 2 = 0$

Этап 11.10.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11.10.4

Подставим значения $a = 3$ , $b = 8$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 11.10.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.5.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 11.10.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 11.10.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 11.10.5.1.3

Вычтем $24$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3}$

Этап 11.10.5.1.4

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 3}$

Этап 11.10.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 11.10.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Этап 11.10.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$

Этап 11.10.5.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{10}}{3}$

Этап 11.10.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

Этап 11.11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{5}}{7}, - \frac{3 + i \sqrt{5}}{7}, - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

Этап 12

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$| 5 x + 2 | = - 2 x$

Этап 13

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$5 x + 2 = \pm (- 2 x)$

Этап 14

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$5 x + 2 = - 2 x$

Этап 14.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$5 x + 2 + 2 x = 0$

Этап 14.2.2

Добавим $5 x$ и $2 x$ .

$7 x + 2 = 0$

Этап 14.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - 2$

Этап 14.4

Разделим каждый член $7 x = - 2$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Разделим каждый член $7 x = - 2$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Этап 14.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Этап 14.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Этап 14.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{7}$

Этап 14.5

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$5 x + 2 = 2 x$

Этап 14.6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$5 x + 2 - 2 x = 0$

Этап 14.6.2

Вычтем $2 x$ из $5 x$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 14.7

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 14.8

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 14.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 14.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 14.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 14.9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Этап 15

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$- \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

$x = - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Этап 16

Объединим решения.

$x = - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}, - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Этап 17

Найдем область определения $\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + | 5 x + 2 | = 0$

Этап 17.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$| 5 x + 2 | = - 2 x$

Этап 17.2.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$5 x + 2 = \pm (- 2 x)$

Этап 17.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$5 x + 2 = - 2 x$

Этап 17.2.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.2.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$5 x + 2 + 2 x = 0$

Этап 17.2.3.2.2

Добавим $5 x$ и $2 x$ .

$7 x + 2 = 0$

Этап 17.2.3.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - 2$

Этап 17.2.3.4

Разделим каждый член $7 x = - 2$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.4.1

Разделим каждый член $7 x = - 2$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Этап 17.2.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.4.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Этап 17.2.3.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Этап 17.2.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{7}$

Этап 17.2.3.5

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$5 x + 2 = 2 x$

Этап 17.2.3.6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.6.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$5 x + 2 - 2 x = 0$

Этап 17.2.3.6.2

Вычтем $2 x$ из $5 x$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 17.2.3.7

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 17.2.3.8

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.8.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 17.2.3.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.8.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 17.2.3.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 17.2.3.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 17.2.3.9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Этап 17.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, - \frac{2}{7}) \cup (- \frac{2}{7}, \infty)$

Этап 18

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

$- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$

$- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$

$x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$

Этап 19

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 19.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 5) - | 5 (- 5) + 2 |}{2 (- 5) + | 5 (- 5) + 2 |} > - 5$

Этап 19.1.3

Левая часть $- 2.\overline{153846}$ больше правой части $- 5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 19.2

Проверим значение на интервале $- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 19.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 2) - | 5 (- 2) + 2 |}{2 (- 2) + | 5 (- 2) + 2 |} > - 2$

Этап 19.2.3

Левая часть $- 2.5$ не больше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 19.3

Проверим значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.48$

Этап 19.3.2

Заменим $x$ на $- 0.48$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 0.48) - | 5 (- 0.48) + 2 |}{2 (- 0.48) + | 5 (- 0.48) + 2 |} > - 0.48$

Этап 19.3.3

Левая часть $1.\overline{571428}$ больше правой части $- 0.48$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 19.4

Проверим значение на интервале $- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Выберем значение на интервале $- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.28$

Этап 19.4.2

Заменим $x$ на $- 0.28$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 0.28) - | 5 (- 0.28) + 2 |}{2 (- 0.28) + | 5 (- 0.28) + 2 |} > - 0.28$

Этап 19.4.3

Левая часть $- 22$ не больше правой части $- 0.28$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 19.5

Проверим значение на интервале $x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 19.5.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - | 5 (0) + 2 |}{2 (0) + | 5 (0) + 2 |} > 0$

Этап 19.5.3

Левая часть $- 1$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 19.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ Истина

$- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ Истина

$- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Ложь

$x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Ложь

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ Истина

$- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ Ложь

$- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ Истина

$- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Ложь

$x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Ложь

Этап 20

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ или $- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$

Этап 21

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3} or - \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, - \frac{2}{7})$

Этап 22