Алгебра Примеры

$\frac{2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

Этап 1

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{5}$ и $2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 4 \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (2 \sqrt{5})}{2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{3}) + 2 (2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

Этап 1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 (\sqrt{3}) - 4 \sqrt{5}}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 2 \sqrt{5})}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 (\sqrt{3} - 2 \sqrt{5})}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{2 (\sqrt{3} - 2 \sqrt{5})}$

Этап 1.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}$

Этап 3.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{{\sqrt{3}}^{2} + 2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{15} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 4.2

Возведем $\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{1}}{- 17}$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{1 + 1}}{- 17}$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{2}}{- 17}$

Этап 5

Перепишем ${(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}^{2}$ в виде $(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 6

Развернем $(\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{3} + 2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 + \sqrt{3} (2 \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7.1.5

Умножим $\sqrt{3} (2 \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 + 2 \sqrt{3 \cdot 5} + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7.1.5.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7.1.6

Умножим $2 \sqrt{5} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{3 \cdot 5} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7.1.6.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7.1.7

Умножим $2 \sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 17}$

Этап 7.1.7.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{- 17}$

Этап 7.1.7.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{- 17}$

Этап 7.1.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{- 17}$

Этап 7.1.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{2}}{- 17}$

Этап 7.1.8

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 17}$

Этап 7.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 17}$

Этап 7.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{- 17}$

Этап 7.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{- 17}$

Этап 7.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5^{1}}{- 17}$

Этап 7.1.8.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 4 \cdot 5}{- 17}$

Этап 7.1.9

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} + 20}{- 17}$

Этап 7.2

Добавим $3$ и $20$ .

$\frac{23 + 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15}}{- 17}$

Этап 7.3

Добавим $2 \sqrt{15}$ и $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{23 + 4 \sqrt{15}}{- 17}$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{23 + 4 \sqrt{15}}{17}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{23 + 4 \sqrt{15}}{17}$

Десятичная форма:

$- 2.26423137 \dots$