Алгебра Примеры

$\frac{2 x - 3}{x - 1} = \frac{2}{x (x - 1)}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x (x - 1)$

Этап 1.2

Поскольку $x - 1, x (x - 1)$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x - 1, x (x - 1)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x - 1, x - 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 1.8

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $x - 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 1$

Этап 1.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x - 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2 x - 3}{x - 1} = \frac{2}{x (x - 1)}$ умножим на $x (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2 x - 3}{x - 1} = \frac{2}{x (x - 1)}$ на $x (x - 1)$ .

$\frac{2 x - 3}{x - 1} (x (x - 1)) = \frac{2}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $x (x - 1)$ .

$\frac{2 x - 3}{x - 1} ((x - 1) x) = \frac{2}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x - 3}{x - 1} ((x - 1) x) = \frac{2}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$(2 x - 3) x = \frac{2}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x - 3 x = \frac{2}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 2.2.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 x = \frac{2}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 2.2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 3 x = \frac{2}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 3 x = \frac{2}{x (x - 1)} (x (x - 1))$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 3 x = 2$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Этап 3.2.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$2 x^{2} + (1 - 4) x - 2 = 0$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2 = 0$

Этап 3.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + x) - 4 x - 2 = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Десятичная форма:

$x = - 0.5, 2$