Алгебра Примеры

$y = 4 - 3 \sin (\frac{2}{5} (x + 1))$

Этап 1

Перепишем выражение в виде $- 3 \sin (\frac{2 x}{5} + \frac{2}{5}) + 4$ .

$- 3 \sin (\frac{2 x}{5} + \frac{2}{5}) + 4$

Этап 2

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 3$

$b = \frac{2}{5}$

$c = - \frac{2}{5}$

$d = 4$

Этап 3

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $3$

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $- 3 \sin (\frac{2 x}{5} + \frac{2}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $\frac{2}{5}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{5} |}$

Этап 4.1.3

$\frac{2}{5}$ приблизительно равно $0.4$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2}{5}}$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{5}{2}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$2 (π) \frac{5}{2}$

Этап 4.1.5.2

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{5}{2}$

Этап 4.1.5.3

Перепишем это выражение.

$π \cdot 5$

Этап 4.1.6

Перенесем $5$ влево от $π$ .

$5 π$

Этап 4.2

Найдем период $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $\frac{2}{5}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{5} |}$

Этап 4.2.3

$\frac{2}{5}$ приблизительно равно $0.4$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2}{5}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{5}{2}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$2 (π) \frac{5}{2}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{5}{2}$

Этап 4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$π \cdot 5$

Этап 4.2.6

Перенесем $5$ влево от $π$ .

$5 π$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$5 π$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{2}{5}}{\frac{2}{5}}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $\frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{2}{5}}{\frac{2}{5}}$

Этап 5.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $- 1$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $3$

Период: $5 π$

Сдвиг фазы: $- 1$ ( $1$ влево)

Смещение по вертикали: $4$

Этап 7

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем точку в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (- 1)}{5} + \frac{2}{5})$

Этап 7.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (- 1) + 2}{5})$

Этап 7.1.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 4 - 3 \sin (\frac{- 2 + 2}{5})$

Этап 7.1.2.1.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (- 1) = 4 - 3 \sin (\frac{0}{5})$

Этап 7.1.2.1.4

Разделим $0$ на $5$ .

$f (- 1) = 4 - 3 \sin (0)$

Этап 7.1.2.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (- 1) = 4 - 3 \cdot 0$

Этап 7.1.2.1.6

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (- 1) = 4 + 0$

Этап 7.1.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f (- 1) = 4$

Этап 7.1.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 7.2

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{4} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{4} - 1$ .

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{5 π}{4} - 1)}{5} + \frac{2}{5})$

Этап 7.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{5 π}{4} - 1) + 2}{5})$

Этап 7.2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{5 π}{4}) + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{5 π}{2 (2)}) + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.2.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.2.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{\frac{5 π}{2} + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.2.2.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{\frac{5 π}{2} - 2 + 2}{5})$

Этап 7.2.2.1.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{\frac{5 π}{2} + 0}{5})$

Этап 7.2.2.1.4

Добавим $\frac{5 π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{\frac{5 π}{2}}{5})$

Этап 7.2.2.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 7.2.2.1.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 (π)}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 7.2.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 7.2.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 7.2.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3 \cdot 1$

Этап 7.2.2.1.8

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 4 - 3$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$f (\frac{5 π}{4} - 1) = 1$

Этап 7.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 7.3

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{2} - 1$ .

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{5 π}{2} - 1)}{5} + \frac{2}{5})$

Этап 7.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{5 π}{2} - 1) + 2}{5})$

Этап 7.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{5 π}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{5 π}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.3.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 π + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.3.2.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 π - 2 + 2}{5})$

Этап 7.3.2.1.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 π + 0}{5})$

Этап 7.3.2.1.4

Добавим $5 π$ и $0$ .

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 π}{5})$

Этап 7.3.2.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 π}{5})$

Этап 7.3.2.1.5.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (π)$

Этап 7.3.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \sin (0)$

Этап 7.3.2.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 - 3 \cdot 0$

Этап 7.3.2.1.8

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4 + 0$

Этап 7.3.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f (\frac{5 π}{2} - 1) = 4$

Этап 7.3.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 7.4

Найдем точку в $x = \frac{15 π}{4} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{15 π}{4} - 1$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{15 π}{4} - 1)}{5} + \frac{2}{5})$

Этап 7.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{15 π}{4} - 1) + 2}{5})$

Этап 7.4.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{15 π}{4}) + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{15 π}{2 (2)}) + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.4.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (\frac{15 π}{2 \cdot 2}) + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.4.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{\frac{15 π}{2} + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.4.2.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{\frac{15 π}{2} - 2 + 2}{5})$

Этап 7.4.2.1.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{\frac{15 π}{2} + 0}{5})$

Этап 7.4.2.1.4

Добавим $\frac{15 π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{\frac{15 π}{2}}{5})$

Этап 7.4.2.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{15 π}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 7.4.2.1.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $15 π$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 7.4.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 7.4.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.4.2.1.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 7.4.2.1.8

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 7.4.2.1.9

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 - 3 \cdot - 1$

Этап 7.4.2.1.9.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 4 + 3$

Этап 7.4.2.2

Добавим $4$ и $3$ .

$f (\frac{15 π}{4} - 1) = 7$

Этап 7.4.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 7.5

Найдем точку в $x = 5 π - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5 π - 1$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (5 π - 1)}{5} + \frac{2}{5})$

Этап 7.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (5 π - 1) + 2}{5})$

Этап 7.5.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 (5 π) + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.5.2.1.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{10 π + 2 \cdot - 1 + 2}{5})$

Этап 7.5.2.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{10 π - 2 + 2}{5})$

Этап 7.5.2.1.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{10 π + 0}{5})$

Этап 7.5.2.1.4

Добавим $10 π$ и $0$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{10 π}{5})$

Этап 7.5.2.1.5

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.5.1

Вынесем множитель $5$ из $10 π$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 (2 π)}{5})$

Этап 7.5.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 (2 π)}{5 (1)})$

Этап 7.5.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{5 (2 π)}{5 \cdot 1})$

Этап 7.5.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (\frac{2 π}{1})$

Этап 7.5.2.1.5.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (2 π)$

Этап 7.5.2.1.6

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \sin (0)$

Этап 7.5.2.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (5 π - 1) = 4 - 3 \cdot 0$

Этап 7.5.2.1.8

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (5 π - 1) = 4 + 0$

Этап 7.5.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f (5 π - 1) = 4$

Этап 7.5.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 7.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 1 & 4 \\ \frac{5 π}{4} - 1 & 1 \\ \frac{5 π}{2} - 1 & 4 \\ \frac{15 π}{4} - 1 & 7 \\ 5 π - 1 & 4 \end{array}$

Этап 8

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $3$

Период: $5 π$

Сдвиг фазы: $- 1$ ( $1$ влево)

Смещение по вертикали: $4$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 1 & 4 \\ \frac{5 π}{4} - 1 & 1 \\ \frac{5 π}{2} - 1 & 4 \\ \frac{15 π}{4} - 1 & 7 \\ 5 π - 1 & 4 \end{array}$

Этап 9