Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} - 6 x + 9} + 2 \leq 9$

Этап 1

Перенесем все члены без $\sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$\sqrt{x^{2} - 6 x + 9} \leq 9 - 2$

Этап 1.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$\sqrt{x^{2} - 6 x + 9} \leq 7$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - 6 x + 9}}^{2} \leq 7^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$ в виде ${(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 6 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 6 x + 9)}^{1} \leq 7^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - 6 x + 9 \leq 7^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \leq 49$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 6 x + 9 = 49$

Этап 4.2

Вычтем $49$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 6 x + 9 - 49 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $49$ из $9$ .

$x^{2} - 6 x - 40 = 0$

Этап 4.4

Разложим $x^{2} - 6 x - 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 40$ , а сумма — $- 6$ .

$- 10, 4$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x + 4) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 4.7

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 10, - 4$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 10$

$x > 10$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{{(- 6)}^{2} - 6 \cdot - 6 + 9} + 2 \leq 9$

Этап 6.1.3

Левая часть $11$ больше правой части $9$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 9} + 2 \leq 9$

Этап 6.2.3

Левая часть $5$ меньше правой части $9$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{{(12)}^{2} - 6 \cdot 12 + 9} + 2 \leq 9$

Этап 6.3.3

Левая часть $11$ больше правой части $9$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 \leq x \leq 10$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 4 \leq x \leq 10$

Интервальное представление:

$[- 4, 10]$

Этап 9