Алгебра Примеры

$f (x) = b {(x + a)}^{3} + c$

Этап 1

Запишем $f (x) = b {(x + a)}^{3} + c$ в виде уравнения.

$y = b {(x + a)}^{3} + c$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$b = y {(x + a)}^{3} + c$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y {(x + a)}^{3} + c = b$ .

$y {(x + a)}^{3} + c = b$

Этап 3.2

Вычтем $c$ из обеих частей уравнения.

$y {(x + a)}^{3} = b - c$

Этап 3.3

Разделим каждый член $y {(x + a)}^{3} = b - c$ на ${(x + a)}^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $y {(x + a)}^{3} = b - c$ на ${(x + a)}^{3}$ .

$\frac{y {(x + a)}^{3}}{{(x + a)}^{3}} = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель ${(x + a)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {(x + a)}^{3}}{{(x + a)}^{3}} = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (b)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (b) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (b) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ обратной к $f (b) = b {(x + a)}^{3} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (b)) = b$ и $f (f^{- 1} (b)) = b$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (b))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b {(x + a)}^{3} + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b (x^{3} + 3 x^{2} a + 3 x a^{2} + a^{3}) + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + b (3 x^{2} a) + b (3 x a^{2}) + b a^{3} + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 5.2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + b (3 x a^{2}) + b a^{3} + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 5.2.3.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3} + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3} + c - c}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3} + c - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вычтем $c$ из $c$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3} + 0}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b a x^{2} + 3 b x a^{2} + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.3.2

Перенесем $b$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 a b x^{2} + 3 b x a^{2} + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.3.3

Перенесем $x$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 a b x^{2} + 3 b a^{2} x + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.3.4

Перенесем $b$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 a b x^{2} + 3 a^{2} b x + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.3.5

Изменим порядок $b$ и $a^{3}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 a b x^{2} + 3 a^{2} b x + a^{3} b}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.3.6

Перенесем $b x^{3}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{3 a b x^{2} + 3 a^{2} b x + a^{3} b + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.3.7

Перенесем $3 a b x^{2}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{3 a^{2} b x + a^{3} b + 3 a b x^{2} + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.3.8

Изменим порядок $3 a^{2} b x$ и $a^{3} b$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{a^{3} b + 3 a^{2} b x + 3 a b x^{2} + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.4

Вынесем множитель $b$ из $a^{3} b + 3 a^{2} b x + 3 a b x^{2} + b x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вынесем множитель $b$ из $a^{3} b$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b a^{3} + 3 a^{2} b x + 3 a b x^{2} + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.4.2

Вынесем множитель $b$ из $3 a^{2} b x$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b a^{3} + b (3 a^{2} x) + 3 a b x^{2} + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.4.3

Вынесем множитель $b$ из $3 a b x^{2}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b a^{3} + b (3 a^{2} x) + b (3 a x^{2}) + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.4.4

Вынесем множитель $b$ из $b x^{3}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b a^{3} + b (3 a^{2} x) + b (3 a x^{2}) + b (x^{3})}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.4.5

Вынесем множитель $b$ из $b a^{3} + b (3 a^{2} x)$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b (a^{3} + 3 a^{2} x) + b (3 a x^{2}) + b (x^{3})}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.4.6

Вынесем множитель $b$ из $b (a^{3} + 3 a^{2} x) + b (3 a x^{2})$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b (a^{3} + 3 a^{2} x + 3 a x^{2}) + b (x^{3})}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.2.4.4.7

Вынесем множитель $b$ из $b (a^{3} + 3 a^{2} x + 3 a x^{2}) + b (x^{3})$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b (a^{3} + 3 a^{2} x + 3 a x^{2} + x^{3})}{{(a + x)}^{3}}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (b))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) {(x + a)}^{3} + c$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) (x^{3} + 3 x^{2} a + 3 x a^{2} + a^{3}) + c$

Этап 5.3.3.2

Развернем $(\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) (x^{3} + 3 x^{2} a + 3 x a^{2} + a^{3})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Объединим $\frac{b}{{(x + a)}^{3}}$ и $x^{3}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + 3 (\frac{b}{{(x + a)}^{3}}) \cdot (x^{2} a) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.3

Объединим $3$ и $\frac{b}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x^{2} a) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.4

Умножим $\frac{3 b}{{(x + a)}^{3}} (x^{2} a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3 b}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} (3 b)}{{(x + a)}^{3}} \cdot a + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.4.2

Объединим $\frac{x^{2} (3 b)}{{(x + a)}^{3}}$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} (3 b) a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.5

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 \cdot (x^{2} b a)}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + 3 (\frac{b}{{(x + a)}^{3}}) \cdot (x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.7

Объединим $3$ и $\frac{b}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.8

Умножим $\frac{3 b}{{(x + a)}^{3}} (x a^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.8.1

Объединим $x$ и $\frac{3 b}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x (3 b)}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{2} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.8.2

Объединим $\frac{x (3 b)}{{(x + a)}^{3}}$ и $a^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x (3 b) a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.9

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 \cdot (x b a^{2})}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.10

Объединим $\frac{b}{{(x + a)}^{3}}$ и $a^{3}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.11

Объединим $x^{3}$ и $\frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.12

Умножим $- \frac{c}{{(x + a)}^{3}} (3 x^{2} a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.12.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - 3 \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.12.2

Объединим $- 3$ и $\frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- 3 c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.12.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{- 3 c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} (- 3 c)}{{(x + a)}^{3}} \cdot a - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.12.4

Объединим $\frac{x^{2} (- 3 c)}{{(x + a)}^{3}}$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} (- 3 c) a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.13

Избавимся от ненужных скобок.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} \cdot (- 3 c a)}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.14

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- 3 \cdot (x^{2} c a)}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{(3) \cdot (x^{2} c a)}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.16

Умножим $- \frac{c}{{(x + a)}^{3}} (3 x a^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.16.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - 3 \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.16.2

Объединим $- 3$ и $\frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- 3 c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.16.3

Объединим $x$ и $\frac{- 3 c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x (- 3 c)}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{2} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.16.4

Объединим $\frac{x (- 3 c)}{{(x + a)}^{3}}$ и $a^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x (- 3 c) a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.17

Избавимся от ненужных скобок.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x \cdot (- 3 c a^{2})}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.18

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- 3 \cdot (x c a^{2})}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{(3) \cdot (x c a^{2})}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Этап 5.3.3.3.20

Объединим $a^{3}$ и $\frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Изменим порядок $x$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.2

Перенесем $x^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 b a x^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.3

Перенесем $b$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.4

Изменим порядок $x$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.5

Перенесем $x$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 b a^{2} x}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.6

Перенесем $b$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.7

Изменим порядок $x$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.8

Изменим порядок $b$ и $a^{3}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.9

Изменим порядок $x$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.10

Изменим порядок $x^{3}$ и $c$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.11

Изменим порядок $x$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.12

Перенесем $x^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 c a x^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.13

Перенесем $c$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.14

Изменим порядок $x$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.15

Перенесем $x$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 c a^{2} x}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.16

Перенесем $c$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a^{2} c x}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.17

Изменим порядок $x$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a^{2} c x}{{(a + x)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Этап 5.3.4.18

Изменим порядок $x$ и $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a^{2} c x}{{(a + x)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(a + x)}^{3}} + c$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (b)) = b$ и $f (f^{- 1} (b)) = b$ , то $f^{- 1} (b) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ — обратная к $f (b) = b {(x + a)}^{3} + c$ .

$f^{- 1} (b) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$