Алгебра Примеры

$x - 2 = \sqrt{\frac{3}{2} x - 2}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{\frac{3}{2} x - 2} = x - 2$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\frac{3}{2} x - 2}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{3}{2} x - 2}$ в виде ${(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{3}{2} x - 2)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

${(\frac{3 x}{2} - 2)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Упростим.

$\frac{3 x}{2} - 2 = {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{3 x}{2} - 2 = (x - 2) (x - 2)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x}{2} - 2 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x}{2} - 2 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x}{2} - 2 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x}{2} - 2 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{3 x}{2} - 2 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{3 x}{2} - 2 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{3 x}{2} - 2 = x^{2} - 4 x + 4$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{3 x}{2} - 2$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $\frac{3 x}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x + 4 - \frac{3 x}{2} = - 2$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- 4 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - 4 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x}{2} + 4 = - 2$

Этап 4.2.3

Объединим $- 4 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 2}{2} - \frac{3 x}{2} + 4 = - 2$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + 4 = - 2$

Этап 4.2.5

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Запишем $x^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{x^{2}}{1} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + 4 = - 2$

Этап 4.2.5.2

Умножим $\frac{x^{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + 4 = - 2$

Этап 4.2.5.3

Умножим $\frac{x^{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + 4 = - 2$

Этап 4.2.5.4

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + \frac{4}{1} = - 2$

Этап 4.2.5.5

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} = - 2$

Этап 4.2.5.6

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} = - 2$

Этап 4.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - 4 x \cdot 2 - 3 x + 4 \cdot 2}{2} = - 2$

Этап 4.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} - 4 x \cdot 2 - 3 x + 4 \cdot 2}{2} = - 2$

Этап 4.2.7.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x + 4 \cdot 2}{2} = - 2$

Этап 4.2.7.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x + 8}{2} = - 2$

Этап 4.2.8

Вычтем $3 x$ из $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 x + 8}{2} = - 2$

Этап 4.3

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 x + 8}{2} \cdot 2 = - 2 \cdot 2$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} - 11 x + 8}{2} \cdot 2 = - 2 \cdot 2$

Этап 4.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 11 x + 8 = - 2 \cdot 2$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 x^{2} - 11 x + 8 = - 4$

Этап 4.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} - 11 x + 8 + 4 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $8$ и $4$ .

$2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$

Этап 4.5.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 12 = 24$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$

Этап 4.5.3.1.2

Запишем $- 11$ как $- 3$ плюс $- 8$

$2 x^{2} + (- 3 - 8) x + 12 = 0$

Этап 4.5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 3 x - 8 x + 12 = 0$

Этап 4.5.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 3 x) - 8 x + 12 = 0$

Этап 4.5.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3) = 0$

Этап 4.5.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x - 4) = 0$

Этап 4.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 4.5.5

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 4.5.5.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 4.5.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 4.5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 4.5.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.5.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 3) (x - 4) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{2}, 4$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $x - 2 = \sqrt{\frac{3}{2} x - 2}$ истинным.

$x = 4$