Алгебра Примеры

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 1} = {(\frac{27}{8})}^{x - 4}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 1}) = \ln ({(\frac{27}{8})}^{x - 4})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 1})$ , вынося $5 x + 1$ из логарифма.

$(5 x + 1) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{27}{8})}^{x - 4})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{2}{3})$ в виде $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{27}{8})}^{x - 4})$

Этап 4

Развернем $\ln ({(\frac{27}{8})}^{x - 4})$ , вынося $x - 4$ из логарифма.

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) \ln (\frac{27}{8})$

Этап 5

Перепишем $\ln (\frac{27}{8})$ в виде $\ln (27) - \ln (8)$ .

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - \ln (8))$

Этап 6

Перепишем $\ln (8)$ в виде $\ln (2^{3})$ .

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - \ln (2^{3}))$

Этап 7

Развернем $\ln (2^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - (3 \ln (2)))$

Этап 8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.1.3

Развернем $(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x (\ln (2) - \ln (3)) + 1 (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 1 (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 1 \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x \ln (2) + 5 \cdot - 1 x \ln (3) + 1 \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.1.4.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 1 \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.1.4.3

Умножим $\ln (2)$ на $1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.1.4.4

Умножим $- \ln (3)$ на $1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.2

Упростим $(x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Развернем $(x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x (\ln (27) - 3 \ln (2)) - 4 (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (27) + x (- 3 \ln (2)) - 4 (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Этап 9.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (27) + x (- 3 \ln (2)) - 4 \ln (27) - 4 (- 3 \ln (2))$

Этап 9.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (27) - 3 x \ln (2) - 4 \ln (27) - 4 (- 3 \ln (2))$

Этап 9.2.2.2

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (27) - 3 x \ln (2) - 4 \ln (27) + 12 \ln (2)$

Этап 9.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вычтем $x \ln (27)$ из обеих частей уравнения.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) - x \ln (27) = - 3 x \ln (2) - 4 \ln (27) + 12 \ln (2)$

Этап 9.3.2

Добавим $3 x \ln (2)$ к обеим частям уравнения.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) - x \ln (27) + 3 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 12 \ln (2)$

Этап 9.3.3

Добавим $5 x \ln (2)$ и $3 x \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 12 \ln (2)$

Этап 9.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вычтем $\ln (2)$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x \ln (3) - \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 12 \ln (2) - \ln (2)$

Этап 9.4.2

Добавим $\ln (3)$ к обеим частям уравнения.

$- 5 x \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 12 \ln (2) - \ln (2) + \ln (3)$

Этап 9.4.3

Вычтем $\ln (2)$ из $12 \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Этап 9.5

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x \ln (3)$ .

$x (- 5 \ln (3)) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (27)$ .

$x (- 5 \ln (3)) + x (- 1 \ln (27)) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Этап 9.5.3

Вынесем множитель $x$ из $8 x \ln (2)$ .

$x (- 5 \ln (3)) + x (- 1 \ln (27)) + x (8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Этап 9.5.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- 5 \ln (3)) + x (- 1 \ln (27))$ .

$x (- 5 \ln (3) - 1 \ln (27)) + x (8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Этап 9.5.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- 5 \ln (3) - 1 \ln (27)) + x (8 \ln (2))$ .

$x (- 5 \ln (3) - 1 \ln (27) + 8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Этап 9.6

Перепишем $- 1 \ln (27)$ в виде $- \ln (27)$ .

$x (- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Этап 9.7

Разделим каждый член $x (- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$ на $- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Разделим каждый член $x (- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$ на $- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)$ .

$\frac{x (- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2))}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} = \frac{- 4 \ln (27)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{11 \ln (2)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.1

Сократим общий множитель $- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 9.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \ln (27)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{11 \ln (2)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 \ln (27)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{11 \ln (2)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 4 \ln (27) + 11 \ln (2)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 \ln (27)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27)) + 11 \ln (2) + \ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $11 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27)) - (- 11 \ln (2)) + \ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 \ln (27)) - (- 11 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27) - 11 \ln (2)) + \ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (3)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27) - 11 \ln (2)) - 1 (- \ln (3))}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 \ln (27) - 11 \ln (2)) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.8

Перепишем $- (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))$ в виде $- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 \ln (3)$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3)) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (27)$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3)) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 \ln (3)) - \ln (27)$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3) + \ln (27)) + 8 \ln (2)}$

Этап 9.7.3.2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $8 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3) + \ln (27)) - (- 8 \ln (2))}$

Этап 9.7.3.2.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 \ln (3) + \ln (27)) - (- 8 \ln (2))$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))}$

Этап 9.7.3.2.14

Перепишем $- (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))$ в виде $- 1 (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- 1 (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))}$

Этап 9.7.3.2.15

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- 1 (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))}$

Этап 9.7.3.2.16

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3)}{5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2)}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3)}{5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2)}$

Десятичная форма:

$x = 1.375$