Алгебра Примеры

$\sqrt{c + 28} - \sqrt{c} \leq 2$

Этап 1

Добавим $\sqrt{c}$ к обеим частям неравенства.

$\sqrt{c + 28} \leq 2 + \sqrt{c}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{c + 28}}^{2} \leq {(2 + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{c + 28}$ в виде ${(c + 28)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(c + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(2 + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(c + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(c + 28)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(c + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(2 + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(c + 28)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(2 + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(c + 28)}^{1} \leq {(2 + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$c + 28 \leq {(2 + \sqrt{c})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 + \sqrt{c})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(2 + \sqrt{c})}^{2}$ в виде $(2 + \sqrt{c}) (2 + \sqrt{c})$ .

$c + 28 \leq (2 + \sqrt{c}) (2 + \sqrt{c})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(2 + \sqrt{c}) (2 + \sqrt{c})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$c + 28 \leq 2 (2 + \sqrt{c}) + \sqrt{c} (2 + \sqrt{c})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$c + 28 \leq 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{c} + \sqrt{c} (2 + \sqrt{c})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$c + 28 \leq 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{c} + \sqrt{c} \cdot 2 + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + \sqrt{c} \cdot 2 + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{c}$ .

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \cdot \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{c} \sqrt{c}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{c}$ в степень $1$ .

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + {\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{c}$ в степень $1$ .

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + {\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + {\sqrt{c}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + {\sqrt{c}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{c}}^{2}$ в виде $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{c}$ в виде $c^{\frac{1}{2}}$ .

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + c^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + c^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + c^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + c^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$c + 28 \leq 4 + 2 \sqrt{c} + 2 \sqrt{c} + c$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $2 \sqrt{c}$ и $2 \sqrt{c}$ .

$c + 28 \leq 4 + 4 \sqrt{c} + c$

Этап 4

Решим относительно $4 \sqrt{c}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем таким образом, чтобы $4 \sqrt{c}$ оказалось в левой части неравенства.

$4 + 4 \sqrt{c} + c \geq c + 28$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $4 \sqrt{c}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$4 \sqrt{c} + c \geq c + 28 - 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $c$ из обеих частей неравенства.

$4 \sqrt{c} \geq c + 28 - 4 - c$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $c + 28 - 4 - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $c$ из $c$ .

$4 \sqrt{c} \geq 0 + 28 - 4$

Этап 4.2.3.2

Добавим $0$ и $28$ .

$4 \sqrt{c} \geq 28 - 4$

Этап 4.2.4

Вычтем $4$ из $28$ .

$4 \sqrt{c} \geq 24$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(4 \sqrt{c})}^{2} \geq 24^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{c}$ в виде $c^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 c^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 24^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(4 c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $4 c^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 24^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 24^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 24^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 24^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 c^{1} \geq 24^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$16 c \geq 24^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$16 c \geq 576$

Этап 7

Разделим каждый член $16 c \geq 576$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $16 c \geq 576$ на $16$ .

$\frac{16 c}{16} \geq \frac{576}{16}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 c}{16} \geq \frac{576}{16}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c \geq \frac{576}{16}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $576$ на $16$ .

$c \geq 36$

Этап 8

Найдем область определения $\sqrt{c + 28} - \sqrt{c} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{c + 28}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$c + 28 \geq 0$

Этап 8.2

Вычтем $28$ из обеих частей неравенства.

$c \geq - 28$

Этап 8.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{c}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$c \geq 0$

Этап 8.4

Область определения ― это все значения $c$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$c \geq 36$

Этап 10