Алгебра Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$ .

$\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$ в виде ${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- \frac{y}{2})}^{1} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$- \frac{y}{2} = x^{3}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 x^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Этап 3.4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 2 x^{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 2 x^{3}$

Этап 3.4.2.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 2 x^{3}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})}^{3}$

Этап 5.2.3

Перепишем $- \frac{x}{2}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

Этап 5.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

Этап 5.2.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

Этап 5.2.6

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}})}^{3}$

Этап 5.2.7

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))}^{3}$

Этап 5.2.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

Этап 5.2.8.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

Этап 5.2.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})}^{3}$

Этап 5.2.8.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})}^{3}$

Этап 5.2.8.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})}^{3}$

Этап 5.2.8.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})}^{3}$

Этап 5.2.8.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Этап 5.2.8.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Этап 5.2.8.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

Этап 5.2.8.5.5

Найдем экспоненту.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

Этап 5.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})}^{3}$

Этап 5.2.9.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2})}^{3}$

Этап 5.2.10

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3}$

Этап 5.2.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3})$

Этап 5.2.11.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}}))$

Этап 5.2.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}})$

Этап 5.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Перепишем ${\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}$ в виде $x \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x \cdot 4}$ в виде ${(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{({(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Этап 5.2.13.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Этап 5.2.13.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Этап 5.2.13.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Этап 5.2.13.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

Этап 5.2.13.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

Этап 5.2.13.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{2^{3}})$

Этап 5.2.14

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{8})$

Этап 5.2.14.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 x}{8}$ в числитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 \frac{- 4 x}{8}$

Этап 5.2.14.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 (- 1) (\frac{- 4 x}{8})$

Этап 5.2.14.2.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Этап 5.2.14.2.4

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Этап 5.2.14.2.5

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- 4 x}{4}$

Этап 5.2.14.3

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4}$

Этап 5.2.14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 (1)}$

Этап 5.2.14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 \cdot 1}$

Этап 5.2.14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Этап 5.2.14.3.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 (- x)$

Этап 5.2.15

Умножим $- 1 (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.15.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 1 x$

Этап 5.2.15.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- 2 x^{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- 2 x^{3}}{2}}$

Этап 5.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим выражение $\frac{- 2 x^{3}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3}$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2}}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 (1)}}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 \cdot 1}}$

Этап 5.3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- x^{3}}{1}}$

Этап 5.3.3.2

Разделим $- x^{3}$ на $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

Этап 5.3.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

Этап 5.3.4.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (- 2 x^{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$