Алгебра Примеры

$\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{3} - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2 m^{2}$ из $2 m^{3} - 14 m^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2 m^{2}$ из $2 m^{3}$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2 m^{2}$ из $- 14 m^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2 m^{2}$ из $2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\log_{4} (\frac{m^{2} (m - 7)}{m}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $m^{2}$ и $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $m$ из $m^{2} (m - 7)$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $m$ в степень $1$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $m$ из $m^{1}$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\log_{4} (\frac{m (m - 7)}{1}) = \log_{4} (8)$

Этап 1.4.2.5

Разделим $m (m - 7)$ на $1$ .

$\log_{4} (m (m - 7)) = \log_{4} (8)$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{4} (m \cdot m + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Этап 1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $m$ на $m$ .

$\log_{4} (m^{2} + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Этап 1.6.2

Перенесем $- 7$ влево от $m$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \log_{4} (8)$

Этап 2

Логарифм $8$ по основанию $4$ равен $\frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем как уравнение.

$\log_{4} (8) = x$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{4} (8) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 8$

Этап 2.3

Сформируем в уравнении выражения с одинаковыми основаниями.

${(2^{2})}^{x} = 2^{3}$

Этап 2.4

Перепишем ${(2^{2})}^{x}$ в виде $2^{2 x}$ .

$2^{2 x} = 2^{3}$

Этап 2.5

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$2 x = 3$

Этап 2.6

Решим относительно $x$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 2.7

Переменная $x$ равна $\frac{3}{2}$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$

Этап 3

Перепишем $\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{3}{2}} = m^{2} - 7 m$

Этап 4

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$ .

$m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2

Упростим $4^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$m^{2} - 7 m = {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$m^{2} - 7 m = 2^{3}$

Этап 4.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$m^{2} - 7 m = 8$

Этап 4.3

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$m^{2} - 7 m - 8 = 0$

Этап 4.4

Разложим $m^{2} - 7 m - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 7$ .

$- 8, 1$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(m - 8) (m + 1) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$m - 8 = 0$

$m + 1 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $m - 8$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $m - 8$ к $0$ .

$m - 8 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$m = 8$

Этап 4.7

Приравняем $m + 1$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $m + 1$ к $0$ .

$m + 1 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$m = - 1$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(m - 8) (m + 1) = 0$ верно.

$m = 8, - 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$ истинным.

$m = 8$