Алгебра Примеры

$v = \sqrt{2 g r} \cdot \sqrt{\frac{h}{r + h}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2 g r} \cdot \sqrt{\frac{h}{r + h}} = v$ .

$\sqrt{2 g r} \cdot \sqrt{\frac{h}{r + h}} = v$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(\sqrt{2 g r} \cdot \sqrt{\frac{h}{r + h}})}^{2} = v^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{h}{r + h}}$ в виде ${(\frac{h}{r + h})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\sqrt{2 g r} \cdot {(\frac{h}{r + h})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = v^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(\sqrt{2 g r} \cdot {(\frac{h}{r + h})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{h}{r + h}$ .

${(\frac{\sqrt{2 g r} h^{\frac{1}{2}}}{{(r + h)}^{\frac{1}{2}}})}^{2} = v^{2}$

Этап 3.2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2 g r} h^{\frac{1}{2}}}{{(r + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(\sqrt{2 g r} h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Применим правило умножения к $\sqrt{2 g r} h^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sqrt{2 g r}}^{2} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Перепишем ${\sqrt{2 g r}}^{2}$ в виде $2 g r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 g r}$ в виде ${(2 g r)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 g r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 g r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{{(2 g r)}^{\frac{2}{2}} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 g r)}^{\frac{2}{2}} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 g r)}^{1} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3.1.5

Упростим.

$\frac{2 g r {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(h^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 g r h^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 g r h^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 g r h^{1}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.3.3

Упростим.

$\frac{2 g r h}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перемножим экспоненты в ${({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 g r h}{{(r + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 g r h}{{(r + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 g r h}{{(r + h)}^{1}} = v^{2}$

Этап 3.2.1.4.2

Упростим.

$\frac{2 g r h}{r + h} = v^{2}$

Этап 4

Решим относительно $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$r + h, 1$

Этап 4.1.2

Избавимся от скобок.

$r + h, 1$

Этап 4.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$r + h$

Этап 4.2

Каждый член в $\frac{2 g r h}{r + h} = v^{2}$ умножим на $r + h$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $\frac{2 g r h}{r + h} = v^{2}$ на $r + h$ .

$\frac{2 g r h}{r + h} (r + h) = v^{2} (r + h)$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $r + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 g r h}{r + h} (r + h) = v^{2} (r + h)$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 g r h = v^{2} (r + h)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 g r h = v^{2} r + v^{2} h$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $v^{2} h$ из обеих частей уравнения.

$2 g r h - v^{2} h = v^{2} r$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $2 g r h - v^{2} h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $h$ из $2 g r h$ .

$h (2 g r) - v^{2} h = v^{2} r$

Этап 4.3.2.2

Вынесем множитель $h$ из $- v^{2} h$ .

$h (2 g r) + h (- v^{2}) = v^{2} r$

Этап 4.3.2.3

Вынесем множитель $h$ из $h (2 g r) + h (- v^{2})$ .

$h (2 g r - v^{2}) = v^{2} r$

Этап 4.3.3

Разделим каждый член $h (2 g r - v^{2}) = v^{2} r$ на $2 g r - v^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим каждый член $h (2 g r - v^{2}) = v^{2} r$ на $2 g r - v^{2}$ .

$\frac{h (2 g r - v^{2})}{2 g r - v^{2}} = \frac{v^{2} r}{2 g r - v^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 g r - v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (2 g r - v^{2})}{2 g r - v^{2}} = \frac{v^{2} r}{2 g r - v^{2}}$

Этап 4.3.3.2.1.2

Разделим $h$ на $1$ .

$h = \frac{v^{2} r}{2 g r - v^{2}}$