Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1 - 2 y}{5 y - 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $5 y - 1$ .

$(5 y - 1) (x) = (\frac{1 - 2 y}{5 y - 1}) (5 y - 1)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $(5 y - 1) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 y x - 1 x = (\frac{1 - 2 y}{5 y - 1}) (5 y - 1)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$5 y x - x = (\frac{1 - 2 y}{5 y - 1}) (5 y - 1)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $5 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$5 y x - x = \frac{1 - 2 y}{5 y - 1} (5 y - 1)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$5 y x - x = 1 - 2 y$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$5 y x - x + 2 y = 1$

Этап 3.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$5 y x + 2 y = 1 + x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $5 y x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $5 y x$ .

$y (5 x) + 2 y = 1 + x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y (5 x) + y \cdot 2 = 1 + x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (5 x) + y \cdot 2$ .

$y (5 x + 2) = 1 + x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (5 x + 2) = 1 + x$ на $5 x + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (5 x + 2) = 1 + x$ на $5 x + 2$ .

$\frac{y (5 x + 2)}{5 x + 2} = \frac{1}{5 x + 2} + \frac{x}{5 x + 2}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $5 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (5 x + 2)}{5 x + 2} = \frac{1}{5 x + 2} + \frac{x}{5 x + 2}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{5 x + 2} + \frac{x}{5 x + 2}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{1 + x}{5 x + 2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{5 x + 2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{5 x + 2}$ обратной к $f (x) = \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{1 + \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}}{5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) + 2}$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{1 + \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}}{5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) + 2}$

Этап 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $\frac{1 + \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}}{5 \frac{1 - 2 x}{5 x - 1} + 2}$ на $\frac{5 x - 1}{5 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{5 x - 1}{5 x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}}{5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) + 2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{(5 x - 1) (1 + \frac{1 - 2 x}{5 x - 1})}{(5 x - 1) (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) + 2)}$

Этап 5.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{(5 x - 1) \cdot 1 + (5 x - 1) (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})}{(5 x - 1) (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})) + (5 x - 1) \cdot 2}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $5 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{(5 x - 1) \cdot 1 + (5 x - 1) (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})}{(5 x - 1) (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})) + (5 x - 1) \cdot 2}$

Этап 5.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{(5 x - 1) \cdot 1 + 1 - 2 x}{(5 x - 1) (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})) + (5 x - 1) \cdot 2}$

Этап 5.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $5 x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{5 x - 1 + 1 - 2 x}{(5 x - 1) \cdot (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})) + (5 x - 1) \cdot 2}$

Этап 5.2.7.2

Вычтем $2 x$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x - 1 + 1}{(5 x - 1) \cdot (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})) + (5 x - 1) \cdot 2}$

Этап 5.2.7.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x + 0}{(5 x - 1) \cdot (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})) + (5 x - 1) \cdot 2}$

Этап 5.2.7.4

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) \cdot (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})) + (5 x - 1) \cdot 2}$

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})) + (5 x - 1) \cdot 2}$

Этап 5.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $5 x - 1$ из $(5 x - 1) \cdot 5 \frac{1 - 2 x}{5 x - 1} + (5 x - 1) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1.1

Вынесем множитель $5 x - 1$ из $(5 x - 1) \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1})) + (5 x - 1) (2)}$

Этап 5.2.8.1.2

Вынесем множитель $5 x - 1$ из $(5 x - 1) (5 \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) + (5 x - 1) (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (5 (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) + 2)}$

Этап 5.2.8.2

Объединим $5$ и $\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{5 (1 - 2 x)}{5 x - 1} + 2)}$

Этап 5.2.8.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5 x - 1}{5 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{5 (1 - 2 x)}{5 x - 1} + \frac{2 (5 x - 1)}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{5 (1 - 2 x) + 2 (5 x - 1)}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.5

Перепишем $\frac{5 (1 - 2 x) + 2 (5 x - 1)}{5 x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{5 \cdot 1 + 5 (- 2 x) + 2 (5 x - 1)}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.5.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{5 + 5 (- 2 x) + 2 (5 x - 1)}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.5.3

Умножим $- 2$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{5 - 10 x + 2 (5 x - 1)}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{5 - 10 x + 2 (5 x) + 2 \cdot - 1}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.5.5

Умножим $5$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{5 - 10 x + 10 x + 2 \cdot - 1}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.5.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{5 - 10 x + 10 x - 2}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.5.7

Вычтем $2$ из $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{- 10 x + 10 x + 3}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.5.8

Добавим $- 10 x$ и $10 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{0 + 3}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.8.5.9

Добавим $0$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{3 x}{(5 x - 1) (\frac{3}{5 x - 1})}$

Этап 5.2.9

Вынесем множитель $\frac{3}{5 x - 1}$ из $\frac{3 x}{(5 x - 1) \frac{3}{5 x - 1}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{5 x - 1}{3} \cdot \frac{3 x}{5 x - 1}$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $5 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{5 x - 1}{3} \cdot \frac{3 x}{5 x - 1}$

Этап 5.2.10.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 5.2.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Этап 5.2.11.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 5.2.11.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1 - 2 x}{5 x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{1 + x}{5 x + 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{1 - 2 \frac{1 + x}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1 + x}{5 x + 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{1 + \frac{- 2 (1 + x)}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{1 - \frac{(2) (1 + x)}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{5 x + 2}{5 x + 2} - \frac{2 (1 + x)}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{5 x + 2 - 2 (1 + x)}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.3.5

Перепишем $\frac{5 x + 2 - 2 (1 + x)}{5 x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{5 x + 2 - 2 \cdot 1 - 2 x}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{5 x + 2 - 2 - 2 x}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.3.5.3

Вычтем $2 x$ из $5 x$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 - 2}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.3.5.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x + 0}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.3.5.5

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{5 (\frac{1 + x}{5 x + 2}) - 1}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим $5$ и $\frac{1 + x}{5 x + 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 (1 + x)}{5 x + 2} - 1}$

Этап 5.3.4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5 x + 2}{5 x + 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 (1 + x)}{5 x + 2} - 1 \cdot \frac{5 x + 2}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5 x + 2}{5 x + 2}$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 (1 + x)}{5 x + 2} + \frac{- (5 x + 2)}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 (1 + x) - (5 x + 2)}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{5 (1 + x) - (5 x + 2)}{5 x + 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 \cdot 1 + 5 x - (5 x + 2)}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.5.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 + 5 x - (5 x + 2)}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 + 5 x - (5 x) - 1 \cdot 2}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.5.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 + 5 x - 5 x - 1 \cdot 2}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.5.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 + 5 x - 5 x - 2}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.5.6

Вычтем $2$ из $5$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{5 x - 5 x + 3}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.5.7

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{0 + 3}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.4.5.8

Добавим $0$ и $3$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{\frac{3 x}{5 x + 2}}{\frac{3}{5 x + 2}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{3 x}{5 x + 2} \cdot \frac{5 x + 2}{3}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{3 (x)}{5 x + 2} \cdot \frac{5 x + 2}{3}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{3 x}{5 x + 2} \cdot \frac{5 x + 2}{3}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{x}{5 x + 2} \cdot (5 x + 2)$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $5 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = \frac{x}{5 x + 2} \cdot (5 x + 2)$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + x}{5 x + 2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{5 x + 2}$ — обратная к $f (x) = \frac{1 - 2 x}{5 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{5 x + 2}$