Алгебра Примеры

$\frac{x^{3} - 4 x}{x^{2} + 2} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{3} - 4 x = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 8

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 9

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 10

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 10.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 10.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 11.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 12

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0, - 2, 2$

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 13

Объединим решения.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{3} - 4 \cdot - 4}{{(- 4)}^{2} + 2} \leq 0$

Этап 15.1.3

Левая часть $- 2.\overline{6}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1}{{(- 1)}^{2} + 2} \leq 0$

Этап 15.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(1)}^{3} - 4 \cdot 1}{{(1)}^{2} + 2} \leq 0$

Этап 15.3.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 15.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{3} - 4 \cdot 4}{{(4)}^{2} + 2} \leq 0$

Этап 15.4.3

Левая часть $2.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $0 \leq x \leq 2$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 2 or 0 \leq x \leq 2$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2] \cup [0, 2]$

Этап 18