Алгебра Примеры

$m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{m_{0}}{\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}} = m$ .

$\frac{m_{0}}{\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}} = m$

Этап 2

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$m \cdot (\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}) = m_{0}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $m \cdot (\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$m \cdot \sqrt{1^{2} - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = m_{0}$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ в виде ${(\frac{v}{c})}^{2}$ .

$m \cdot \sqrt{1^{2} - {(\frac{v}{c})}^{2}} = m_{0}$

Этап 2.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{v}{c}$ .

$m \cdot \sqrt{(1 + \frac{v}{c}) (1 - \frac{v}{c})} = m_{0}$

Этап 2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$m \cdot \sqrt{(\frac{c}{c} + \frac{v}{c}) (1 - \frac{v}{c})} = m_{0}$

Этап 2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$m \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c} (1 - \frac{v}{c})} = m_{0}$

Этап 2.2.1.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$m \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c} (\frac{c}{c} - \frac{v}{c})} = m_{0}$

Этап 2.2.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$m \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c} \cdot \frac{c - v}{c}} = m_{0}$

Этап 2.2.1.3.5

Умножим $\frac{c + v}{c}$ на $\frac{c - v}{c}$ .

$m \cdot \sqrt{\frac{(c + v) (c - v)}{c \cdot c}} = m_{0}$

Этап 2.2.1.3.6

Умножим $c$ на $c$ .

$m \cdot \sqrt{\frac{(c + v) (c - v)}{c^{2}}} = m_{0}$

Этап 2.2.1.4

Перепишем $\frac{(c + v) (c - v)}{c^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{c})}^{2} ((c + v) (c - v))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(c + v) (c - v)$ .

$m \cdot \sqrt{\frac{1^{2} ((c + v) (c - v))}{c^{2}}} = m_{0}$

Этап 2.2.1.4.2

Вынесем полную степень $c^{2}$ из $c^{2}$ .

$m \cdot \sqrt{\frac{1^{2} ((c + v) (c - v))}{c^{2} \cdot 1}} = m_{0}$

Этап 2.2.1.4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((c + v) (c - v))}{c^{2} \cdot 1}$ .

$m \cdot \sqrt{{(\frac{1}{c})}^{2} ((c + v) (c - v))} = m_{0}$

Этап 2.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$m \cdot (\frac{1}{c} \sqrt{(c + v) (c - v)}) = m_{0}$

Этап 2.2.1.6

Объединим $\frac{1}{c}$ и $\sqrt{(c + v) (c - v)}$ .

$\frac{m \sqrt{(c + v) (c - v)}}{c} = m_{0}$

Этап 3

Решим относительно $m \sqrt{(c + v) (c - v)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части на $c$ .

$\frac{m \sqrt{(c + v) (c - v)}}{c} c = m_{0} c$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m \sqrt{(c + v) (c - v)}}{c} c = m_{0} c$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$m \sqrt{(c + v) (c - v)} = m_{0} c$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(m \sqrt{(c + v) (c - v)})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(c + v) (c - v)}$ в виде ${((c + v) (c - v))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(m {((c + v) (c - v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(m {((c + v) (c - v))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Развернем $(c + v) (c - v)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(m {(c (c - v) + v (c - v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(m {(c \cdot c + c (- v) + v (c - v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(m {(c \cdot c + c (- v) + v c + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $c \cdot c + c (- v) + v c + v (- v)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $c (- v)$ и $v c$ .

${(m {(c \cdot c - c v + c v + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.1.2

Добавим $- c v$ и $c v$ .

${(m {(c \cdot c + 0 + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.1.3

Добавим $c \cdot c$ и $0$ .

${(m {(c \cdot c + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.2.1

Умножим $c$ на $c$ .

${(m {(c^{2} + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(m {(c^{2} - v \cdot v)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2.3

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.2.3.1

Перенесем $v$ .

${(m {(c^{2} - (v \cdot v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2.3.2

Умножим $v$ на $v$ .

${(m {(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.3.1

Применим правило умножения к $m {(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$m^{2} {({(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{2} {(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$m^{2} {(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$m^{2} {(c^{2} - v^{2})}^{1} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Упростим.

$m^{2} (c^{2} - v^{2}) = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$m^{2} c^{2} + m^{2} (- v^{2}) = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$m^{2} c^{2} - m^{2} v^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $m_{0} c$ .

$m^{2} c^{2} - m^{2} v^{2} = {m_{0}}^{2} c^{2}$

Этап 6

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $m^{2} c^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- m^{2} v^{2} = {m_{0}}^{2} c^{2} - m^{2} c^{2}$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- m^{2} v^{2} = {m_{0}}^{2} c^{2} - m^{2} c^{2}$ на $- m^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- m^{2} v^{2} = {m_{0}}^{2} c^{2} - m^{2} c^{2}$ на $- m^{2}$ .

$\frac{- m^{2} v^{2}}{- m^{2}} = \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{- m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{m^{2} v^{2}}{m^{2}} = \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{- m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель $m^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m^{2} v^{2}}{m^{2}} = \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{- m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Этап 6.2.2.2.2

Разделим $v^{2}$ на $1$ .

$v^{2} = \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{- m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v^{2} = - \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Этап 6.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$v^{2} = - \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + \frac{m^{2} c^{2}}{m^{2}}$

Этап 6.2.3.1.3

Сократим общий множитель $m^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$v^{2} = - \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + \frac{m^{2} c^{2}}{m^{2}}$

Этап 6.2.3.1.3.2

Разделим $c^{2}$ на $1$ .

$v^{2} = - \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + c^{2}$

Этап 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$v = \pm \sqrt{- \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + c^{2}}$

Этап 6.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + c^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $c^{2}$ из $- \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + c^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вынесем множитель $c^{2}$ из $- \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}}$ .

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}}) + c^{2}}$

Этап 6.4.1.2

Умножим на $1$ .

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}}) + c^{2} \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3

Вынесем множитель $c^{2}$ из $c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}}) + c^{2} \cdot 1$ .

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}} + 1)}$

Этап 6.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}} + 1^{2})}$

Этап 6.4.2.2

Перепишем $\frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}}$ в виде ${(\frac{m_{0}}{m})}^{2}$ .

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- {(\frac{m_{0}}{m})}^{2} + 1^{2})}$

Этап 6.4.2.3

Изменим порядок $- {(\frac{m_{0}}{m})}^{2}$ и $1^{2}$ .

$v = \pm \sqrt{c^{2} (1^{2} - {(\frac{m_{0}}{m})}^{2})}$

Этап 6.4.3

$v = \pm \sqrt{c^{2} (1 + \frac{m_{0}}{m}) (1 - \frac{m_{0}}{m})}$

Этап 6.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$v = \pm \sqrt{c^{2} (\frac{m}{m} + \frac{m_{0}}{m}) (1 - \frac{m_{0}}{m})}$

Этап 6.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \pm \sqrt{c^{2} \frac{m + m_{0}}{m} (1 - \frac{m_{0}}{m})}$

Этап 6.4.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$v = \pm \sqrt{c^{2} \frac{m + m_{0}}{m} (\frac{m}{m} - \frac{m_{0}}{m})}$

Этап 6.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \pm \sqrt{c^{2} \frac{m + m_{0}}{m} \frac{m - m_{0}}{m}}$

Этап 6.4.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.8.1

Объединим $c^{2}$ и $\frac{m + m_{0}}{m}$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0})}{m} \cdot \frac{m - m_{0}}{m}}$

Этап 6.4.8.2

Умножим $\frac{c^{2} (m + m_{0})}{m}$ на $\frac{m - m_{0}}{m}$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m \cdot m}}$

Этап 6.4.8.3

Возведем $m$ в степень $1$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{1} m}}$

Этап 6.4.8.4

Возведем $m$ в степень $1$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{1} m^{1}}}$

Этап 6.4.8.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{1 + 1}}}$

Этап 6.4.8.6

Добавим $1$ и $1$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{2}}}$

Этап 6.4.9

Перепишем $\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{2}}$ в виде ${(\frac{c}{m})}^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.9.1

Вынесем полную степень $c^{2}$ из $c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))}{m^{2}}}$

Этап 6.4.9.2

Вынесем полную степень $m^{2}$ из $m^{2}$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))}{m^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.4.9.3

Перегруппируем дробь $\frac{c^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))}{m^{2} \cdot 1}$ .

$v = \pm \sqrt{{(\frac{c}{m})}^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))}$

Этап 6.4.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$v = \pm \frac{c}{m} \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}$

Этап 6.4.11

Объединим $\frac{c}{m}$ и $\sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}$ .

$v = \pm \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

Этап 6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$v = \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

Этап 6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$v = - \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

Этап 6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$v = \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = - \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = - \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = - \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$