Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 10 x^{2} + 8 x}{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}$

Этап 1

Разложим $2 x^{3} + 10 x^{2} + 8 x$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 10 x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$f (x) = \frac{2 x (x^{2}) + 10 x^{2} + 8 x}{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $10 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (5 x) + 8 x}{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x$ .

$f (x) = \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (5 x) + 2 x (4)}{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (5 x)$ .

$f (x) = \frac{2 x (x^{2} + 5 x) + 2 x (4)}{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2} + 5 x) + 2 x (4)$ .

$f (x) = \frac{2 x (x^{2} + 5 x + 4)}{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{2} + 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $5$ .

$1, 4$

Этап 1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = \frac{2 x ((x + 1) (x + 4))}{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x^{3} + 7 x^{2} + 12 x}$

Этап 2

Разложим $x^{3} + 7 x^{2} + 12 x$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 7 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$f (x) = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x \cdot x^{2} + 7 x^{2} + 12 x}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $7 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x \cdot x^{2} + x (7 x) + 12 x}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $12 x$ .

$f (x) = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x \cdot x^{2} + x (7 x) + x \cdot 12}$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (7 x)$ .

$f (x) = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x (x^{2} + 7 x) + x \cdot 12}$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 7 x) + x \cdot 12$ .

$f (x) = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x (x^{2} + 7 x + 12)}$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $x^{2} + 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $7$ .

$3, 4$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x ((x + 3) (x + 4))}$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x (x + 3) (x + 4)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{2 x (x + 1) (x + 4)}{x (x + 3) (x + 4)}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$f (x) = \frac{(2 (x + 1)) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{2 (x + 1) (x + 4)}{(x + 3) (x + 4)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$f (x) = \frac{2 (x + 1)}{x + 3}$

Этап 5

Чтобы найти точки разрыва, рассмотрим в знаменателе множители, которые были сокращены.

$x, x + 4$

Этап 6

Чтобы найти координаты точек разрыва, приравняем все сокращенные множители к $0$ , решим и подставим найденные значения обратно в $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ , чтобы найти $y$ -координату разрыва.

$\frac{2 (0 + 1)}{0 + 3}$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{0 + 3}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{2 \cdot 1}{3}$

Этап 6.2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 6.3

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 6.4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 6.5

Подставим $- 4$ вместо $x$ в $\frac{2 (x + 1)}{x + 3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ , чтобы найти $y$ -координату разрыва.

$\frac{2 (- 4 + 1)}{- 4 + 3}$

Этап 6.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{- 4 + 3}$

Этап 6.5.2.2

Добавим $- 4$ и $3$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{- 1}$

Этап 6.5.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.5.2.4

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$6$

Этап 6.6

Разрывы в графике — точки, в которых любой из сокращенных множителей равен $0$ .

$(0, \frac{2}{3}), (- 4, 6)$

Этап 7