Алгебра Примеры

$\log_{2} (2 w^{2}) - \log_{2} (w + 3) = 3$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{2 w^{2}}{w + 3}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$2 w^{2} = 2^{3} (w + 3)$

Этап 4

Упростим $2^{3} (w + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 w^{2} = 8 (w + 3)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 w^{2} = 8 w + 8 \cdot 3$

Этап 4.3

Умножим $8$ на $3$ .

$2 w^{2} = 8 w + 24$

Этап 5

Вычтем $8 w$ из обеих частей уравнения.

$2 w^{2} - 8 w = 24$

Этап 6

Вынесем множитель $2 w$ из $2 w^{2} - 8 w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2 w$ из $2 w^{2}$ .

$2 w (w) - 8 w = 24$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2 w$ из $- 8 w$ .

$2 w (w) + 2 w (- 4) = 24$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2 w$ из $2 w (w) + 2 w (- 4)$ .

$2 w (w - 4) = 24$

Этап 7

Разделим каждый член $2 w (w - 4) = 24$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 w (w - 4) = 24$ на $2$ .

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $w (w - 4)$ на $1$ .

$w (w - 4) = \frac{24}{2}$

Этап 7.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$w \cdot w + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $w$ на $w$ .

$w^{2} + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Этап 7.2.3.2

Перенесем $- 4$ влево от $w$ .

$w^{2} - 4 w = \frac{24}{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $24$ на $2$ .

$w^{2} - 4 w = 12$

Этап 8

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$w^{2} - 4 w - 12 = 0$

Этап 9

Разложим $w^{2} - 4 w - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(w - 6) (w + 2) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w - 6 = 0$

$w + 2 = 0$

Этап 11

Приравняем $w - 6$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $w - 6$ к $0$ .

$w - 6 = 0$

Этап 11.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$w = 6$

Этап 12

Приравняем $w + 2$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $w + 2$ к $0$ .

$w + 2 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$w = - 2$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $(w - 6) (w + 2) = 0$ верно.

$w = 6, - 2$