Алгебра Примеры

$| x - 9 | = x^{2} + 3$

Этап 1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 9 = \pm (x^{2} + 3)$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 9 = x^{2} + 3$

Этап 2.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x - 9 - x^{2} = 3$

Этап 2.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x - 9 - x^{2} - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из $- 9$ .

$x - x^{2} - 12 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 1$ и $c = - 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 12)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 12}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot - 12}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $48$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $- 47$ в виде $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (47)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{- 2}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{47}}{2}$

Этап 2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{47}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{47}}{2}$

Этап 2.8

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 9 = - (x^{2} + 3)$

Этап 2.9

Упростим $- (x^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Перепишем.

$x - 9 = 0 + 0 - (x^{2} + 3)$

Этап 2.9.2

Упростим путем добавления нулей.

$x - 9 = - (x^{2} + 3)$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 9 = - x^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 2.9.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x - 9 = - x^{2} - 3$

Этап 2.10

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x - 9 + x^{2} = - 3$

Этап 2.11

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x - 9 + x^{2} + 3 = 0$

Этап 2.12

Добавим $- 9$ и $3$ .

$x + x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.13

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$u + u^{2} - 6 = 0$

Этап 2.13.2

Разложим $u + u^{2} - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 2.13.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Этап 2.13.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 2.14

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.15

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.15.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.16

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.16.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.17

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2, - 3$

Этап 2.18

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1 + i \sqrt{47}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{47}}{2}, 2, - 3$