Алгебра Примеры

$2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}$

Этап 1

Перепишем $2^{- x}$ в виде степенного выражения.

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = \frac{5}{2}$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $2^{x}$ .

$u + u^{- 1} = \frac{5}{2}$

Этап 3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 2$

Этап 4.1.2

Так как $1, u, 2$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 2$ , затем найдем НОК для части с переменной $u^{1}$ .

Этап 4.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 4.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 4.1.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 4.1.6

НОК $1, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 4.1.7

Множителем $u^{1}$ является само значение $u$ .

$u^{1} = u$

$u$ встречается $1$ раз.

Этап 4.1.8

НОК $u^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$u$

Этап 4.1.9

НОК $1, u, 2$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 u$

Этап 4.2

Каждый член в $u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ умножим на $2 u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ на $2 u$ .

$u (2 u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 u \cdot u + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Перенесем $u$ .

$2 (u \cdot u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Этап 4.2.2.1.2.2

Умножим $u$ на $u$ .

$2 u^{2} + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 u^{2} + 2 \frac{1}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Этап 4.2.2.1.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{u}$ .

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Этап 4.2.2.1.5

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Этап 4.2.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u$ .

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 (u))$

Этап 4.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

Этап 4.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 u^{2} + 2 = 5 u$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $5 u$ из обеих частей уравнения.

$2 u^{2} + 2 - 5 u = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Изменим порядок членов.

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.2.2

Запишем $- 5$ как $- 1$ плюс $- 4$

$2 u^{2} + (- 1 - 4) u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 1 u - 4 u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} - 1 u) - 4 u + 2 = 0$

Этап 4.3.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 1) - 2 (2 u - 1) = 0$

Этап 4.3.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 2) = 0$

Этап 4.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 2 = 0$

Этап 4.3.4

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 4.3.4.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 4.3.4.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.5

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 4.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 u - 1) (u - 2) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, 2$

Этап 5

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$\frac{1}{2} = 2^{x}$

Этап 6

Решим $\frac{1}{2} = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = \frac{1}{2}$ .

$2^{x} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{x} = \frac{1}{2^{1}}$

Этап 6.3

Перенесем $2^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2^{x} = 2^{- 1}$

Этап 6.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = - 1$

Этап 7

Подставим $2$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$2 = 2^{x}$

Этап 8

Решим $2 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 2$ .

$2^{x} = 2$

Этап 8.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{1}$

Этап 8.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 1$

Этап 9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = - 1, 1$