Алгебра Примеры

$\log (x) \geq \log (2 x - 1) - \log (3)$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log (x) = \log (2 x - 1) - \log (3)$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x) = \log (\frac{2 x - 1}{3})$

Этап 2.2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x = \frac{2 x - 1}{3}$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим обе части на $3$ .

$x \cdot 3 = \frac{2 x - 1}{3} \cdot 3$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$3 x = \frac{2 x - 1}{3} \cdot 3$

Этап 2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x = \frac{2 x - 1}{3} \cdot 3$

Этап 2.3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x = 2 x - 1$

Этап 2.3.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x - 2 x = - 1$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$x = - 1$

Этап 3

Найдем область определения $\log (\frac{3 x}{2 x - 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (\frac{3 x}{2 x - 1})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{3 x}{2 x - 1} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.6

Объединим решения.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Этап 3.2.7

Найдем область определения $\frac{3 x}{2 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x}{2 x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.2.7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.2.7.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 3.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 3.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 3.2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 2)}{2 (- 2) - 1} > 0$

Этап 3.2.9.1.3

Левая часть $1.2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.9.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.25$

Этап 3.2.9.2.2

Заменим $x$ на $0.25$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0.25)}{2 (0.25) - 1} > 0$

Этап 3.2.9.2.3

Левая часть $- 1.5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 3.2.9.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (3)}{2 (3) - 1} > 0$

Этап 3.2.9.3.3

Левая часть $1.8$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{2}$ Ложь

$x > \frac{1}{2}$ Истина

Этап 3.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > \frac{1}{2}$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{3 x}{2 x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 4

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > \frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x > \frac{1}{2}$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 6