Алгебра Примеры

$3 x^{4} - 2 x^{2} = 16$

Этап 1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{4} - 2 x^{2} - 16 = 0$

Этап 2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$3 u^{2} - 2 u - 16 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u$ .

$3 u^{2} - 2 u - 16 = 0$

Этап 4.1.2

Запишем $- 2$ как $6$ плюс $- 8$

$3 u^{2} + (6 - 8) u - 16 = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} + 6 u - 8 u - 16 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} + 6 u) - 8 u - 16 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (u + 2) - 8 (u + 2) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u + 2$ .

$(u + 2) (3 u - 8) = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (3 x^{2} - 8) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$3 x^{2} - 8 = 0$

Этап 7

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 7.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 7.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 7.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 7.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 7.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 7.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 7.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 8

Приравняем $3 x^{2} - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $3 x^{2} - 8$ к $0$ .

$3 x^{2} - 8 = 0$

Этап 8.2

Решим $3 x^{2} - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 8$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 8$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{8}{3}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{8}{3}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{3}$

Этап 8.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$

Этап 8.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{8}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{8}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.2.4.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.2.4.3

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.4.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 8.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 8.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 8.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Этап 8.2.4.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Этап 8.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Этап 8.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Этап 8.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 2) (3 x^{2} - 8) = 0$ верно.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$