Алгебра Примеры

$\frac{x + 2}{x - 2} < \frac{x + 3}{2 - x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{x + 3}{2 - x}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{2 - x} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{2 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{- 1 (- 2) - x} < 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{- 1 (- 2) - (x)} < 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{- 1 (- 2 + x)} < 0$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{- 1 (x - 2)} < 0$

Этап 2.5

Чтобы записать $\frac{x + 2}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{x + 2}{x - 2} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x + 3}{- 1 (x - 2)} < 0$

Этап 2.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 2) \cdot - 1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{x + 2}{x - 2}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{(x - 2) \cdot - 1} - \frac{x + 3}{- 1 (x - 2)} < 0$

Этап 2.6.2

Изменим порядок множителей в $(x - 2) \cdot - 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{- (x - 2)} - \frac{x + 3}{- 1 (x - 2)} < 0$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 2) \cdot - 1 - (x + 3)}{- (x - 2)} < 0$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 - (x + 3)}{- (x - 2)} < 0$

Этап 2.8.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x + 2 \cdot - 1 - (x + 3)}{- (x - 2)} < 0$

Этап 2.8.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot x - 2 - (x + 3)}{- (x - 2)} < 0$

Этап 2.8.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{- x - 2 - (x + 3)}{- (x - 2)} < 0$

Этап 2.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - 2 - x - 1 \cdot 3}{- (x - 2)} < 0$

Этап 2.8.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- x - 2 - x - 3}{- (x - 2)} < 0$

Этап 2.8.7

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{- 2 x - 2 - 3}{- (x - 2)} < 0$

Этап 2.8.8

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$\frac{- 2 x - 5}{- (x - 2)} < 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{- 2 x - 5}{x - 2} < 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$- \frac{- (2 x) - 5}{x - 2} < 0$

Этап 2.11

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$- \frac{- (2 x) - 1 (5)}{x - 2} < 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (5)$ .

$- \frac{- (2 x + 5)}{x - 2} < 0$

Этап 2.13

Перепишем $- (2 x + 5)$ в виде $- 1 (2 x + 5)$ .

$- \frac{- 1 (2 x + 5)}{x - 2} < 0$

Этап 2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2 x + 5}{x - 2} < 0$

Этап 2.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2 x + 5}{x - 2} < 0$

Этап 2.16

Умножим $\frac{2 x + 5}{x - 2}$ на $1$ .

$\frac{2 x + 5}{x - 2} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x + 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{5}{2}$

$x = 2$

Этап 8

Объединим решения.

$x = - \frac{5}{2}, 2$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{2 x + 5}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x + 5}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 9.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 2$

$x > 2$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 5) + 2}{(- 5) - 2} < \frac{(- 5) + 3}{2 - (- 5)}$

Этап 11.1.3

Левая часть $0.\overline{428571}$ не меньше правой части $- 0.\overline{285714}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 2}{(0) - 2} < \frac{(0) + 3}{2 - (0)}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $1.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 2}{(4) - 2} < \frac{(4) + 3}{2 - (4)}$

Этап 11.3.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $- 3.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{5}{2}$ Ложь

$- \frac{5}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < - \frac{5}{2}$ Ложь

$- \frac{5}{2} < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{5}{2} < x < 2$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{5}{2} < x < 2$

Интервальное представление:

$(- \frac{5}{2}, 2)$

Этап 14