Алгебра Примеры

$- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x \leq 1$

Этап 1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x \leq 1$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x - 1 \leq 0$

Этап 3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{2}$ в числитель.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Этап 3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} + 8 x - 2 \leq 0$

Этап 4

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} + 8 x - 2 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 8$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 8}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $8$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{14}$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 4 + \sqrt{14}, 4 - \sqrt{14}$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 4 - \sqrt{14}$

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$

$x > 4 + \sqrt{14}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 4 - \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 4 - \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} + 4 (0) \leq 1$

Этап 10.1.3

Левая часть $0$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 (4) \leq 1$

Этап 10.2.3

Левая часть $8$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 4 + \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4 + \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$- \frac{1}{2} \cdot {(10)}^{2} + 4 (10) \leq 1$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 10$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 4 - \sqrt{14}$ Истина

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ Ложь

$x > 4 + \sqrt{14}$ Истина

$x < 4 - \sqrt{14}$ Истина

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ Ложь

$x > 4 + \sqrt{14}$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 4 - \sqrt{14}$ или $x \geq 4 + \sqrt{14}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq 4 - \sqrt{14} or x \geq 4 + \sqrt{14}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 4 - \sqrt{14}] \cup [4 + \sqrt{14}, \infty)$

Этап 13