Алгебра Примеры

$\frac{9}{10} + \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{9}{10}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x} - \frac{9}{10}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 1, x, 10$

Этап 2.2

Поскольку $x + 1, x, 10$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x + 1, x, 10$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 10$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x + 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

У $10$ есть множители: $2$ и $5$ .

$2 \cdot 5$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $5$ .

$10$

Этап 2.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.9

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + 1$

Этап 2.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$10 x (x + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x} - \frac{9}{10}$ умножим на $10 x (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x} - \frac{9}{10}$ на $10 x (x + 1)$ .

$\frac{2}{x + 1} (10 x (x + 1)) = \frac{2}{x} (10 x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 \frac{2}{x + 1} (x (x + 1)) = \frac{2}{x} (10 x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.2.2

Умножим $10 \frac{2}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $10$ и $\frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{10 \cdot 2}{x + 1} (x (x + 1)) = \frac{2}{x} (10 x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.2.2.2

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{20}{x + 1} (x (x + 1)) = \frac{2}{x} (10 x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $x (x + 1)$ .

$\frac{20}{x + 1} ((x + 1) x) = \frac{2}{x} (10 x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20}{x + 1} ((x + 1) x) = \frac{2}{x} (10 x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.2.3.3

Перепишем это выражение.

$20 x = \frac{2}{x} (10 x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 x = 10 \frac{2}{x} (x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.3.1.2

Умножим $10 \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $10$ и $\frac{2}{x}$ .

$20 x = \frac{10 \cdot 2}{x} (x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $10$ на $2$ .

$20 x = \frac{20}{x} (x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$20 x = \frac{20}{x} (x (x + 1)) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$20 x = 20 (x + 1) - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x = 20 x + 20 \cdot 1 - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.3.1.5

Умножим $20$ на $1$ .

$20 x = 20 x + 20 - \frac{9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{10}$ в числитель.

$20 x = 20 x + 20 + \frac{- 9}{10} (10 x (x + 1))$

Этап 3.3.1.6.2

Вынесем множитель $10$ из $10 x (x + 1)$ .

$20 x = 20 x + 20 + \frac{- 9}{10} (10 (x (x + 1)))$

Этап 3.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$20 x = 20 x + 20 + \frac{- 9}{10} (10 (x (x + 1)))$

Этап 3.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$20 x = 20 x + 20 - 9 (x (x + 1))$

Этап 3.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x = 20 x + 20 - 9 (x \cdot x + x \cdot 1)$

Этап 3.3.1.8

Умножим $x$ на $x$ .

$20 x = 20 x + 20 - 9 (x^{2} + x \cdot 1)$

Этап 3.3.1.9

Умножим $x$ на $1$ .

$20 x = 20 x + 20 - 9 (x^{2} + x)$

Этап 3.3.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x = 20 x + 20 - 9 x^{2} - 9 x$

Этап 3.3.2

Вычтем $9 x$ из $20 x$ .

$20 x = 11 x + 20 - 9 x^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$11 x + 20 - 9 x^{2} = 20 x$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $20 x$ из обеих частей уравнения.

$11 x + 20 - 9 x^{2} - 20 x = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $20 x$ из $11 x$ .

$- 9 x + 20 - 9 x^{2} = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = - 9$ , $b = - 9$ и $c = 20$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 20)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 20}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 9 \cdot 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 20}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $36$ на $20$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 720}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.5.1.3

Добавим $81$ и $720$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{801}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $801$ в виде $3^{2} \cdot 89$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $801$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{9 (89)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 89}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{89}}{2 \cdot - 9}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{89}}{- 18}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{9 \pm 3 \sqrt{89}}{- 18}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{- 6}$

Этап 4.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 \pm \sqrt{89}}{6}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 + \sqrt{89}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{89}}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{3 + \sqrt{89}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{89}}{6}$

Десятичная форма:

$x = - 2.07233018 \dots, 1.07233018 \dots$