Алгебра Примеры

$5 (\frac{5 + k}{2}) - 4 = {(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k (\frac{5 + k}{2})$

Этап 1

Поскольку $k$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

${(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2

Упростим ${(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k \frac{5 + k}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5 + k}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{2^{2}} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{5 + k}{2}$ и $k$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{(5 + k) k}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k}{2} \cdot \frac{2}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{(5 + k) k}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k \cdot 2}{2 \cdot 2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(5 + k)}^{2} - (5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $5 + k$ из ${(5 + k)}^{2} - (5 + k) k \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $5 + k$ из ${(5 + k)}^{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k) - (5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $5 + k$ из $- (5 + k) k \cdot 2$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k) + (5 + k) (- 1 k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $5 + k$ из $(5 + k) (5 + k) + (5 + k) (- 1 k \cdot 2)$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - 1 k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.5.2

Перепишем $- 1 k$ в виде $- k$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - 2 k)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 2.5.4

Вычтем $2 k$ из $k$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Этап 3

Упростим $5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $5$ и $\frac{5 + k}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} - 4$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k) - 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 \cdot 5 + 5 k - 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.4.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{25 + 5 k - 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{25 + 5 k - 8}{2}$

Этап 3.4.4

Вычтем $8$ из $25$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 k + 17}{2}$

Этап 4

Перенесем все члены с $k$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{5 k + 17}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{5 k + 17}{2} = 0$

Этап 4.2

Чтобы записать $- \frac{5 k + 17}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{5 k + 17}{2} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{5 k + 17}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{(5 k + 17) \cdot 2}{2 \cdot 2} = 0$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{(5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(5 + k) (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Развернем $(5 + k) (5 - k)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (5 - k) + k (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (- k) + k (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (- k) + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 + 5 (- k) + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{25 - 5 k + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.2.1.3

Перенесем $5$ влево от $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 \cdot k + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{25 - 5 k + 5 k - k \cdot k - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.2.1.5

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.5.1

Перенесем $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 k - (k \cdot k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.2.1.5.2

Умножим $k$ на $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 k - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.2.2

Добавим $- 5 k$ и $5 k$ .

$\frac{25 + 0 - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.2.3

Добавим $25$ и $0$ .

$\frac{25 - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25 - k^{2} + (- (5 k) - 1 \cdot 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{25 - k^{2} + (- 5 k - 1 \cdot 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.5

Умножим $- 1$ на $17$ .

$\frac{25 - k^{2} + (- 5 k - 17) \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25 - k^{2} - 5 k \cdot 2 - 17 \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.7

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{25 - k^{2} - 10 k - 17 \cdot 2}{4} = 0$

Этап 4.5.8

Умножим $- 17$ на $2$ .

$\frac{25 - k^{2} - 10 k - 34}{4} = 0$

Этап 4.5.9

Вычтем $34$ из $25$ .

$\frac{- k^{2} - 10 k - 9}{4} = 0$

Этап 4.5.10

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.10.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.10.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 k$ .

$\frac{- k^{2} - 10 (k) - 9}{4} = 0$

Этап 4.5.10.1.2

Запишем $- 10$ как $- 1$ плюс $- 9$

$\frac{- k^{2} + (- 1 - 9) k - 9}{4} = 0$

Этап 4.5.10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- k^{2} - 1 k - 9 k - 9}{4} = 0$

Этап 4.5.10.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.10.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- k^{2} - 1 k) - 9 k - 9}{4} = 0$

Этап 4.5.10.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{k (- k - 1) + 9 (- k - 1)}{4} = 0$

Этап 4.5.10.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- k - 1$ .

$\frac{(- k - 1) (k + 9)}{4} = 0$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- k$ .

$\frac{(- (k) - 1) (k + 9)}{4} = 0$

Этап 4.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (k) - 1 (1)) (k + 9)}{4} = 0$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (k) - 1 (1)$ .

$\frac{- (k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Этап 4.9

Перепишем $- (k + 1)$ в виде $- 1 (k + 1)$ .

$\frac{- 1 (k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Этап 5

Приравняем числитель к нулю.

$(k + 1) (k + 9) = 0$

Этап 6

Решим уравнение относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$k + 1 = 0$

$k + 9 = 0$

Этап 6.2

Приравняем $k + 1$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $k + 1$ к $0$ .

$k + 1 = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$k = - 1$

Этап 6.3

Приравняем $k + 9$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $k + 9$ к $0$ .

$k + 9 = 0$

Этап 6.3.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$k = - 9$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(k + 1) (k + 9) = 0$ верно.

$k = - 1, - 9$