Алгебра Примеры

$2^{2 x} - 12 \cdot 2^{x} + 2^{5} = 0$

Этап 1

Перепишем $2^{2 x}$ в виде ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} - 12 \cdot 2^{x} + 2^{5} = 0$

Этап 2

Пусть $u = 2^{x}$ . Подставим $u$ вместо $2^{x}$ для всех.

$u^{2} - 12 u + 32 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} - 12 u + 32$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $32$ , а сумма — $- 12$ .

$- 8, - 4$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 8) (u - 4) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $2^{x}$ .

$(2^{x} - 8) (2^{x} - 4) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2^{x} - 8 = 0$

$2^{x} - 4 = 0$

Этап 6

Приравняем $2^{x} - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2^{x} - 8$ к $0$ .

$2^{x} - 8 = 0$

Этап 6.2

Решим $2^{x} - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$2^{x} = 8$

Этап 6.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{3}$

Этап 6.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 3$

Этап 7

Приравняем $2^{x} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2^{x} - 4$ к $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

Этап 7.2

Решим $2^{x} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2^{x} = 4$

Этап 7.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{2}$

Этап 7.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2^{x} - 8) (2^{x} - 4) = 0$ верно.

$x = 3, 2$