Алгебра Примеры

$x^{6} - 4 x^{4} - 8 x^{4} + 32 x^{2} + 16 x^{2} - 64$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{6} - 8 x^{4} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6} - 8 x^{4} + 16 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$x^{2} x^{4} - 8 x^{4} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 8 x^{4}$ .

$x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2}) + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16 - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 2.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2})$ .

$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16 - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 2.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{4} - 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16$ .

$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2} + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x^{2} (u^{2} - 8 u + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x^{2} (u^{2} - 8 u + 4^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 4$ .

$x^{2} {(u - 4)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 4)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 2^{2})}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x^{2} {((x + 2) (x - 2))}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$x^{2} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Этап 10

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{4}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 32 x^{2} - 64$

Этап 10.2

Вынесем множитель $4$ из $32 x^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2}) - 64$

Этап 10.3

Вынесем множитель $4$ из $- 64$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2}) + 4 (- 16)$

Этап 10.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2})$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4} + 8 x^{2}) + 4 (- 16)$

Этап 10.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{4} + 8 x^{2}) + 4 (- 16)$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4} + 8 x^{2} - 16)$

Этап 11

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 16)$

Этап 12

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 8 u - 16)$

Этап 13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 u$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 8 (u) - 16)$

Этап 13.1.2

Запишем $8$ как $4$ плюс $4$

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + (4 + 4) u - 16)$

Этап 13.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 4 u + 4 u - 16)$

Этап 13.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- u^{2} + 4 u) + 4 u - 16)$

Этап 13.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (u (- u + 4) - 4 (- u + 4))$

Этап 13.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 4$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- u + 4) (u - 4))$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- x^{2} + 4) (x^{2} - 4))$

Этап 15

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} - 4))$

Этап 16

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2^{2} - x^{2}) (x^{2} - 4))$

Этап 17

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x^{2} - 4))$

Этап 18

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x^{2} - 2^{2}))$

Этап 19

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) ((x + 2) (x - 2)))$

Этап 19.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x + 2) (x - 2))$

Этап 20

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1.1

Изменим порядок членов.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((x + 2) (2 - x) (x + 2) (x - 2))$

Этап 20.1.2

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1} (x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Этап 20.1.3

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (2 - x) (x - 2))$

Этап 20.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1 + 1} (2 - x) (x - 2))$

Этап 20.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (2 - x) (x - 2))$

Этап 20.1.6

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2) - x) (x - 2))$

Этап 20.1.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2) - (x)) (x - 2))$

Этап 20.1.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (x)$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2 + x)) (x - 2))$

Этап 20.1.9

Избавимся от скобок.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 (- 2 + x) (x - 2))$

Этап 20.1.10

Изменим порядок членов.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 (x - 2) (x - 2))$

Этап 20.1.11

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)))$

Этап 20.1.12

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}))$

Этап 20.1.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1})$

Этап 20.1.14

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{2})$

Этап 20.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 {(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}$

Этап 21

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - (4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})$

Этап 21.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})$

Этап 22

Избавимся от скобок.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$

Этап 23

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ из $x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ из $x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$

Этап 23.2

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ из $- 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) + {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (- 4)$

Этап 23.3

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ из ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) + {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (- 4)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} - 4)$

Этап 24

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} - 2^{2})$

Этап 25

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} ((x + 2) (x - 2))$

Этап 25.2

Избавимся от ненужных скобок.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x - 2)$

Этап 26

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

${(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Этап 26.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x + 2)}^{1 + 2} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Этап 26.3

Добавим $1$ и $2$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Этап 26.4

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

${(x + 2)}^{3} ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2})$

Этап 26.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{1 + 2}$

Этап 26.6

Добавим $1$ и $2$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$