Алгебра Примеры

$\log_{8} (w + 12) + \log_{8} (w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((w + 12) w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{8} (w \cdot w + 12 w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Этап 1.3

Умножим $w$ на $w$ .

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Логарифм $4$ по основанию $8$ равен $\frac{2}{3}$ .

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \frac{2}{3}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \frac{2}{3}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 2$

Этап 3

Перепишем $\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$8^{2} = w^{2} + 12 w$

Этап 4

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $w^{2} + 12 w = 8^{2}$ .

$w^{2} + 12 w = 8^{2}$

Этап 4.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$w^{2} + 12 w = 64$

Этап 4.3

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$w^{2} + 12 w - 64 = 0$

Этап 4.4

Разложим $w^{2} + 12 w - 64$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 64$ , а сумма — $12$ .

$- 4, 16$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(w - 4) (w + 16) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w - 4 = 0$

$w + 16 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $w - 4$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $w - 4$ к $0$ .

$w - 4 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$w = 4$

Этап 4.7

Приравняем $w + 16$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $w + 16$ к $0$ .

$w + 16 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$w = - 16$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(w - 4) (w + 16) = 0$ верно.

$w = 4, - 16$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\log_{8} (w + 12) + \log_{8} (w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$ истинным.

$w = 4$