Алгебра Примеры

$\cos^{2} (2 x) = \sin^{2} (x)$

Этап 1

Вычтем $\sin^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (2 x)$ и $b = \sin (x)$ .

$(\cos (2 x) + \sin (x)) (\cos (2 x) - \sin (x)) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)) (\cos (2 x) - \sin (x)) = 0$

Этап 2.3

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

Этап 2.4

Развернем $(1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x))$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (- \sin (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (- \sin (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 2 \sin^{2} (x)$ на $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 1 (- \sin (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- \sin (x)$ на $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.6

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.6.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 {\sin (x)}^{2 + 2}) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.6.3

Добавим $2$ и $2$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{4} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.7

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.8

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.8.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.8.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.8.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.9

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.10

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.12

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.12.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.12.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.12.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.12.3

Добавим $2$ и $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin (x) \sin (x) = 0$

Этап 2.5.1.14

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.14.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.14.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Этап 2.5.1.14.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} = 0$

Этап 2.5.1.14.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.5.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим противоположные члены в $1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Добавим $- \sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 0 - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Добавим $1 - 2 \sin^{2} (x)$ и $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.5.2.1.3

Вычтем $2 \sin^{3} (x)$ из $2 \sin^{3} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 0 - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.5.2.1.4

Добавим $1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$ и $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.5.2.3

Вычтем $\sin^{2} (x)$ из $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 5 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) = 0$

Этап 3

Разложим $1 - 5 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок членов.

$4 \sin^{4} (x) - 5 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Этап 3.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) - 5 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Этап 3.1.2.2

Запишем $- 5$ как $- 1$ плюс $- 4$

$4 \sin^{4} (x) + (- 1 - 4) \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Этап 3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sin^{4} (x) - 1 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 \sin^{4} (x) - 1 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Этап 3.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sin^{2} (x) (4 \sin^{2} (x) - 1) - (4 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 3.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 \sin^{2} (x) - 1$ .

$(4 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 3.2

Перепишем $4 \sin^{2} (x)$ в виде ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$({(2 \sin (x))}^{2} - 1) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$({(2 \sin (x))}^{2} - 1^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 \sin (x)$ и $b = 1$ .

$(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 3.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Этап 3.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (x)$ и $b = 1$ .

$(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Этап 3.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 5.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 5.2.6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 5.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 5.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 5.2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 5.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \sin (x) - 1$ к $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (x) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 6.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 6.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 7.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 7.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 7.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 7.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 7.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 7.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 7.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 7.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 7.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 7.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 7.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $\sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 1$

Этап 8.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 8.2.4

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 8.2.5

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 8.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 8.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 8.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$