Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{2} - 1}{10}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{2} - 1}{10}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{2} - 1}{10} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{10} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $10$ .

$10 \frac{y^{2} - 1}{10} = 10 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$10 \frac{y^{2} - 1}{10} = 10 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} - 1 = 10 x$

Этап 3.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = 10 x + 1$

Этап 3.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{10 x + 1}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{10 x + 1}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{10 x + 1}$

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

$y = \sqrt{10 x + 1}$

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

$y = \sqrt{10 x + 1}$

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\sqrt{10 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{10 x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$10 x + 1 \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$10 x \geq - 1$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $10 x \geq - 1$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $10 x \geq - 1$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} \geq \frac{- 1}{10}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} \geq \frac{- 1}{10}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{10}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{1}{10}$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{1}{10}, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ не является функцией, обратной к $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ .

Обратная не существует

Этап 6