Алгебра Примеры

$(\frac{a - 1}{3 a + {(a - 1)}^{2}} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 1}{a - 1}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$(\frac{a - 1}{3 a + {(a - 1)}^{2}} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(a - 1)}^{2}$ в виде $(a - 1) (a - 1)$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + (a - 1) (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.2

Развернем $(a - 1) (a - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{a - 1}{3 a + a (a - 1) - 1 (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{a - 1}{3 a + a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{a - 1}{3 a + a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - 1 \cdot a - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.3.1.3

Перепишем $- 1 a$ в виде $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.3.1.4

Перепишем $- 1 a$ в виде $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.3.2

Вычтем $a$ из $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.1.4

Вычтем $2 a$ из $3 a$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1^{3}} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = a$ и $b = 1$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $a$ на $1$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1^{2})} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 2.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1}$ на $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$(\frac{(a - 1) (a - 1)}{(a^{2} + a + 1) (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ .

$(\frac{(a - 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\frac{(a - 1) (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(a - 1) (a - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{a (a - 1) - 1 (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$(\frac{a^{2} + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $a$ .

$(\frac{a^{2} - 1 \cdot a - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.2.1.3

Перепишем $- 1 a$ в виде $- a$ .

$(\frac{a^{2} - a - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем $- 1 a$ в виде $- a$ .

$(\frac{a^{2} - a - a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(\frac{a^{2} - a - a + 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.2.2

Вычтем $a$ из $- a$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 \cdot 1 - (- 3 a) - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 - (- 3 a) - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.4.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 + 3 a - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.5

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$(\frac{- 2 a + 1 - 1 + 3 a + 0}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.6

Добавим $- 2 a + 1 - 1 + 3 a$ и $0$ .

$(\frac{- 2 a + 1 - 1 + 3 a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.7

Добавим $- 2 a$ и $3 a$ .

$(\frac{a + 1 - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.8

Вычтем $1$ из $1$ .

$(\frac{a + 0}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 6.9

Добавим $a$ и $0$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 7

Чтобы записать $- \frac{1}{a - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1} \cdot \frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{a - 1}$ на $\frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a^{2} + a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a - (a^{2} + a + 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a - a^{2} - a - 1 \cdot 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{a - a^{2} - a - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 9.3

Вычтем $a$ из $a$ .

$\frac{- a^{2} + 0 - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 9.4

Добавим $- a^{2}$ и $0$ .

$\frac{- a^{2} - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- a^{2} - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Этап 10.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- a^{2} - 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{1}{a^{2} + 1}$

Этап 10.2

Умножим $\frac{- a^{2} - 1}{a^{2} + a + 1}$ на $\frac{1}{a^{2} + 1}$ .

$\frac{- a^{2} - 1}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $- a^{2} - 1$ и $a^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- a^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Этап 10.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Этап 10.3.4

Перепишем $- (a^{2} + 1)$ в виде $- 1 (a^{2} + 1)$ .

$\frac{- 1 (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Этап 10.3.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Этап 10.3.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{a^{2} + a + 1}$

Этап 10.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{a^{2} + a + 1}$