Алгебра Примеры

$y = x^{2} + 1$ $x^{2} + y^{2} = 1$

Этап 1

Заменим все вхождения $y$ на $x^{2} + 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{2} + y^{2} = 1$ на $x^{2} + 1$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{2} = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$x^{2} + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.1.2

Развернем $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.1.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.1.3.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 1.2.1.2

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2

Решим относительно $x$ в $x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 3 u + 1 = 1$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 3 u + 1 - 1 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.3

Объединим противоположные члены в $u^{2} + 3 u + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$u^{2} + 3 u + 0 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.3.2

Добавим $u^{2} + 3 u$ и $0$ .

$u^{2} + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

$u^{2} + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.4

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} + 3 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $u$ из $3 u$ .

$u \cdot u + u \cdot 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot 3$ .

$u (u + 3) = 0$

$y = x^{2} + 1$

$u (u + 3) = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u + 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.6

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.7

Приравняем $u + 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $u + 3$ к $0$ .

$u + 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$u = - 3$

$y = x^{2} + 1$

$u = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (u + 3) = 0$ верно.

$u = 0, - 3$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.11.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.11.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.11.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.13.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.13.3

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.13.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.13.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = \pm i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 2.14

Решением $x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$ является $x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Этап 3

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} + 1$ на $0$ .

$y = {(0)}^{2} + 1$

$x = 0$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(0)}^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 1$

$x = 0$

Этап 3.2.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $i \sqrt{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} + 1$ на $i \sqrt{3}$ .

$y = {(i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $i \sqrt{3}$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.1.3.5

Найдем экспоненту.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.1.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} + 1$ на $0$ .

$y = {(0)}^{2} + 1$

$x = 0$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(0)}^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 1$

$x = 0$

Этап 5.2.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

Этап 6

Заменим все вхождения $x$ на $i \sqrt{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} + 1$ на $i \sqrt{3}$ .

$y = {(i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило умножения к $i \sqrt{3}$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.1.3.5

Найдем экспоненту.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 6.2.1.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

Этап 7

Заменим все вхождения $x$ на $- i \sqrt{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} + 1$ на $- i \sqrt{3}$ .

$y = {(- i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(- i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- i \sqrt{3}$ .

$y = {(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.1.2

Применим правило умножения к $- i$ .

$y = {(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = {(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.3

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.4

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.5.5

Найдем экспоненту.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.1.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 7.2.1.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 8

Перечислим все решения.

$y = 1, x = 0$

$y = - 2, x = i \sqrt{3}$

$y = - 2, x = - i \sqrt{3}$

Этап 9