Алгебра Примеры

$(a + b - \frac{2 a b}{a + b}) \div (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})$

Этап 1

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$

Этап 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + b) a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$ на $\frac{(a + b) a}{(a + b) a}$ .

$\frac{(a + b) a}{(a + b) a} \cdot \frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$

Этап 2.2

Объединим.

$\frac{(a + b) a (a + b - \frac{2 a b}{a + b})}{(a + b) a (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})}$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a (- \frac{2 a b}{a + b})}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 a b}{a + b}$ в числитель.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $a + b$ из $(a + b) a$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) (a) \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + a (- 2 a b)}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.2

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 (a^{1} a) b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.3

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 (a^{1} a^{1}) b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{1 + 1} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $a + b$ из $(a + b) a$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) (a) \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $a$ из $(a + b) a$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + a (a + b) \frac{b}{a}}$

Этап 4.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + a (a + b) \frac{b}{a}}$

Этап 4.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $a^{2}$ из $(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $a^{2}$ из $(a + b) a \cdot a$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $a^{2}$ из $(a + b) a b$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b) - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $a^{2}$ из $- 2 a^{2} b$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $a^{2}$ из $a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b)$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $a^{2}$ из $a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b - 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{a^{2} (- 2 b + a \cdot a^{- 1} (a + b) + b a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.1.2

Изменим порядок $a \cdot a^{- 1} (a + b)$ и $b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b + b a^{- 1} (a + b) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $1$ из $b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b + 1 (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.1.4

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$\frac{a^{2} (- 2 b + (- 1 + 2) (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 (b a^{- 1} (a + b)) + 2 (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $a$ на $a^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $a$ на $a^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{1} a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{1 - 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.2.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{0} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.2.2

Упростим $a^{0}$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + 1 (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.2.3

Умножим $a + b$ на $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a + b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.3

Добавим $- 2 b$ и $b$ .

$\frac{a^{2} (- b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.4

Добавим $- 1 b a^{- 1} (a + b)$ и $2 b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- b + 1 b a^{- 1} (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- b + 1 b a^{- 1} (a + b) + a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Перенесем $b$ .

$\frac{a^{2} (- b + 1 a^{- 1} b (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.5.1.2

Перенесем $- b$ .

$\frac{a^{2} (1 a^{- 1} b (a + b) + a - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $1 a^{- 1} b (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) + a - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $a$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a) - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- b$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a) - (b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a)$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b) - a) - (b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- a^{- 1} b (a + b) - a) - (b)$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{1}{a} b (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.7

Объединим $b$ и $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b}{a} (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{b}{a}$ в числитель.

$\frac{a^{2} (- (\frac{- b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} (- (\frac{- b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.10

Умножим $- \frac{b}{a} b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Объединим $b$ и $\frac{b}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b \cdot b}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.10.2

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1} b}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.10.3

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1} b^{1}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1 + 1}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{2}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.11

Добавим $- b$ и $b$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a + 0))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.2.12

Добавим $- \frac{b^{2}}{a} - a$ и $0$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.3

Чтобы записать $- a$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a \cdot \frac{a}{a}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.4

Объединим $- a$ и $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} + \frac{- a \cdot a}{a}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - a \cdot a}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.6

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перенесем $a$ .

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - (a \cdot a)}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.6.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - a^{2}}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

$\frac{a^{2} \cdot - 1 \frac{- b^{2} - a^{2}}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (a^{2} \frac{- b^{2} - a^{2}}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.7.2

Объединим $a^{2}$ и $\frac{- b^{2} - a^{2}}{a}$ .

$\frac{- \frac{a^{2} (- b^{2} - a^{2})}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.8

Сократим общий множитель $a^{2}$ и $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} (- b^{2} - a^{2})$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a^{1}}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.8.2.2

Вынесем множитель $a$ из $a^{1}$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a \cdot 1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.8.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a \cdot 1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.8.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{a (- b^{2} - a^{2})}{1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.8.2.5

Разделим $a (- b^{2} - a^{2})$ на $1$ .

$\frac{- (a (- b^{2} - a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (a (- b^{2}) + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- (- a b^{2} + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- (- a b^{2} - a \cdot a^{2})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.12

Умножим $a$ на $a^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Перенесем $a^{2}$ .

$\frac{- (- a b^{2} - (a^{2} a))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.12.2

Умножим $a^{2}$ на $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{- (- a b^{2} - (a^{2} a^{1}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- (- a b^{2} - a^{2 + 1})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.12.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- (- a b^{2} - a^{3})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.13

Вынесем множитель $a$ из $- a b^{2} - a^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Вынесем множитель $a$ из $- a b^{2}$ .

$\frac{- (a (- b^{2}) - a^{3})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.13.2

Вынесем множитель $a$ из $- a^{3}$ .

$\frac{- (a (- b^{2}) + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 5.13.3

Вынесем множитель $a$ из $a (- b^{2}) + a (- a^{2})$ .

$\frac{- (a (- b^{2} - a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a \cdot a + a (- b) + (a + b) b}$

Этап 6.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + a (- b) + (a + b) b}$

Этап 6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + (a + b) b}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + a b + b \cdot b}$

Этап 6.5

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + a b + b^{2}}$

Этап 6.6

Добавим $- a b$ и $a b$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + 0 + b^{2}}$

Этап 6.7

Добавим $a^{2}$ и $0$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7

Сократим общий множитель $- b^{2} - a^{2}$ и $a^{2} + b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- b^{2}$ .

$\frac{- a (- (b^{2}) - a^{2})}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- a^{2}$ .

$\frac{- a (- (b^{2}) - (a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (b^{2}) - (a^{2})$ .

$\frac{- a (- (b^{2} + a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7.4

Перепишем $- (b^{2} + a^{2})$ в виде $- 1 (b^{2} + a^{2})$ .

$\frac{- a (- 1 (b^{2} + a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- a (- 1 (a^{2} + b^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7.6

Сократим общий множитель.

$\frac{- a (- 1 (a^{2} + b^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Этап 7.7

Разделим $- a \cdot (- 1)$ на $1$ .

$- a \cdot (- 1)$

Этап 8

Умножим $- a (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 a$

Этап 8.2

Умножим $a$ на $1$ .

$a$