Алгебра Примеры

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} > 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2 > 0$

Этап 2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |}$ .

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2 \cdot \frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Этап 3

Объединим $- 2$ и $\frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |}$ .

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} + \frac{- 2 | 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 2 | 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Этап 5

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$1 - 2 | 2 x - 3 | = 0$

$| 2 x - 3 | = 0$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 | 2 x - 3 | = - 1$

Этап 7

Разделим каждый член $- 2 | 2 x - 3 | = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- 2 | 2 x - 3 | = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 | 2 x - 3 |}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 | 2 x - 3 |}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $| 2 x - 3 |$ на $1$ .

$| 2 x - 3 | = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$| 2 x - 3 | = \frac{1}{2}$

Этап 8

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm \frac{1}{2}$

Этап 9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$2 x - 3 = \frac{1}{2}$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = \frac{1}{2} + 3$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x = \frac{1 + 6}{2}$

Этап 9.2.5.2

Добавим $1$ и $6$ .

$2 x = \frac{7}{2}$

Этап 9.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{7}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{7}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Этап 9.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7}{2 \cdot 2}$

Этап 9.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{7}{4}$

Этап 9.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$2 x - 3 = - \frac{1}{2}$

Этап 9.5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = - \frac{1}{2} + 3$

Этап 9.5.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.5.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 9.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 9.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x = \frac{- 1 + 6}{2}$

Этап 9.5.5.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$2 x = \frac{5}{2}$

Этап 9.6

Разделим каждый член $2 x = \frac{5}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Этап 9.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Этап 9.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Этап 9.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.6.3.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.2.1

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Этап 9.6.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 9.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}$

Этап 10

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm 0$

Этап 11

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 12

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 13

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 13.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 14

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Этап 15

Объединим решения.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}, \frac{3}{2}$

Этап 16

Найдем область определения $\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{| 2 x - 3 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| 2 x - 3 | = 0$

Этап 16.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm 0$

Этап 16.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 16.2.3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 16.2.4

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 16.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 16.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 16.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Этап 17

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

$x > \frac{7}{4}$

Этап 18

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 18.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{| 2 (0) - 3 |} > 2$

Этап 18.1.3

Левая часть $0.\overline{3}$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 18.2

Проверим значение на интервале $\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.38$

Этап 18.2.2

Заменим $x$ на $1.38$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{| 2 (1.38) - 3 |} > 2$

Этап 18.2.3

Левая часть $4.1\overline{6}$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 18.3

Проверим значение на интервале $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.62$

Этап 18.3.2

Заменим $x$ на $1.62$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{| 2 (1.62) - 3 |} > 2$

Этап 18.3.3

Левая часть $4.1\overline{6}$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 18.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{7}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{7}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 18.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{| 2 (4) - 3 |} > 2$

Этап 18.4.3

Левая часть $0.2$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 18.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{5}{4}$ Ложь

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ Истина

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ Истина

$x > \frac{7}{4}$ Ложь

$x < \frac{5}{4}$ Ложь

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ Истина

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ Истина

$x > \frac{7}{4}$ Ложь

Этап 19

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ или $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

Этап 20

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2} or \frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

Интервальное представление:

$(\frac{5}{4}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$

Этап 21